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第一章波动方程WaveEquations齐海涛Email:htqi2008@gmail.comìÀ大学威°©校数学与Ú计学2008年12月9日齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日1/99目录1方程的导出、定解条2郎贝尔公ª、波的D播3初边值¯题的分离变量法4高波动方程的柯ܯ题5波的D播衰~6能量不等ª、波动方程解的一5和定5齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日2/99Æ习要求1掌º波动方程9各种定解条的提法Ô理背景;2掌º求解定解¯题的方法(1波法和分离变量法);3掌º能量积分估O;4掌º特征线特征锥.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日3/991方程的导出、定解条2郎贝尔公ª、波的D播3初边值¯题的分离变量法4高波动方程的柯ܯ题5波的D播衰~6能量不等ª、波动方程解的一5和定5齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日4/99么´偏分方程?Definition1.1偏分方程:含k知函ê9其偏导ê的方程(描ã自变量、知函ê9其偏导êê之m的关系);PDE的解:如在函ê具k方程所I要的各阶连Y偏导ê,且ò它入方程能¦方程成恒等ª,则称该函ê方程的解;PDE的阶(order):PDE所含k的知函ê最高阶偏导ê的阶ê.F(x;y;u(x;y);ux(x;y);uy(x;y))=F(x;y;u;ux;uy)=0F(x;y;u;ux;uy;uxx;uxy;uyy)=0齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日4/99么´偏分方程?Definition1.1偏分方程:含k知函ê9其偏导ê的方程(描ã自变量、知函ê9其偏导êê之m的关系);PDE的解:如在函ê具k方程所I要的各阶连Y偏导ê,且ò它入方程能¦方程成恒等ª,则称该函ê方程的解;PDE的阶(order):PDE所含k的知函ê最高阶偏导ê的阶ê.F(x;y;u(x;y);ux(x;y);uy(x;y))=F(x;y;u;ux;uy)=0F(x;y;u;ux;uy;uxx;uxy;uyy)=0齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日4/99么´偏分方程?Definition1.1偏分方程:含k知函ê9其偏导ê的方程(描ã自变量、知函ê9其偏导êê之m的关系);PDE的解:如在函ê具k方程所I要的各阶连Y偏导ê,且ò它入方程能¦方程成恒等ª,则称该函ê方程的解;PDE的阶(order):PDE所含k的知函ê最高阶偏导ê的阶ê.F(x;y;u(x;y);ux(x;y);uy(x;y))=F(x;y;u;ux;uy)=0F(x;y;u;ux;uy;uxx;uxy;uyy)=0齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日4/99么´偏分方程?1:ux+uy=0transport2:ux+uuy=0shockwave3:utt−uxx+u3=0wavewithinteraction4:ut+uux+uxxx=0dispersivewave5:uxx+uyy=0Laplace’sequation6:utt+uxxxx=0vibratingbar7:ut−iuxx=0quantumnmechanics8:(cosxy2)ux−y2uy=tan(x2+y2)齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日5/99么´偏分方程?Definition1.2如果方程关u知函ê9其各阶偏导ê´线5的,则称d方程´线5方程(linear),反之称非线5方程(nonlinear);如非线5方程对知函ê的¤kp êoN来说´线5的,则称它拟线5方程(quasilinear);如非线5方程中方程对知函ê的最高阶偏导ê不´线1的,则称它全非线5方程(fullynonlinear).如果方程包含k不含知函ê9其偏导ê的项,d方程称非齐g方程(nonhomogeneous),反之称齐g方程(homogeneous);齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日6/99么´偏分方程?Definition1.2如果方程关u知函ê9其各阶偏导ê´线5的,则称d方程´线5方程(linear),反之称非线5方程(nonlinear);如非线5方程对知函ê的¤kp êoN来说´线5的,则称它拟线5方程(quasilinear);如非线5方程中方程对知函ê的最高阶偏导ê不´线1的,则称它全非线5方程(fullynonlinear).如果方程包含k不含知函ê9其偏导ê的项,d方程称非齐g方程(nonhomogeneous),反之称齐g方程(homogeneous);齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日6/99么´偏分方程?Definition1.2如果方程关u知函ê9其各阶偏导ê´线5的,则称d方程´线5方程(linear),反之称非线5方程(nonlinear);如非线5方程对知函ê的¤kp êoN来说´线5的,则称它拟线5方程(quasilinear);如非线5方程中方程对知函ê的最高阶偏导ê不´线1的,则称它全非线5方程(fullynonlinear).如果方程包含k不含知函ê9其偏导ê的项,d方程称非齐g方程(nonhomogeneous),反之称齐g方程(homogeneous);齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日6/99么´偏分方程?Definition1.2如果方程关u知函ê9其各阶偏导ê´线5的,则称d方程´线5方程(linear),反之称非线5方程(nonlinear);如非线5方程对知函ê的¤kp êoN来说´线5的,则称它拟线5方程(quasilinear);如非线5方程中方程对知函ê的最高阶偏导ê不´线1的,则称它全非线5方程(fullynonlinear).如果方程包含k不含知函ê9其偏导ê的项,d方程称非齐g方程(nonhomogeneous),反之称齐g方程(homogeneous);齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日6/99么´偏分方程?Example1.3(1)uxy=0;(2)aux+buy=0;(3)ux+yuy=0:):(2)如果引入向量n=(a;b)=ai+bj;则aux+buy=gradu·n=@u@n=0:故u(x;y)÷向量n必常ê.因而u(x;y)仅依赖ubx−ay,=方程的解u=f(bx−ay).齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日7/99么´偏分方程?Example1.3(1)uxy=0;(2)aux+buy=0;(3)ux+yuy=0:):(2)如果引入向量n=(a;b)=ai+bj;则aux+buy=gradu·n=@u@n=0:故u(x;y)÷向量n必常ê.因而u(x;y)仅依赖ubx−ay,=方程的解u=f(bx−ay).齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日7/99么´偏分方程?另解:作变量换=ax+by=bx−ay:根据复合函ê链ª求导法则,得ux=@u@@@x+@u@@@x=au+bu;uy=@u@@@y+@u@@@y=bu−au:故daux+buy=(a2+b2)u=0知u=0.因而方程的解u=f()=f(bx−ay).齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日8/99么´偏分方程?练习(1)4ux−3uy=0;u(0;y)=y3;(2)ux+2xy2uy=0:(1)u(x;y)=(3x+4y)3=64;(2)u(x;y)=f(x2+1y):齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日9/99么´偏分方程?练习(1)4ux−3uy=0;u(0;y)=y3;(2)ux+2xy2uy=0:(1)u(x;y)=(3x+4y)3=64;(2)u(x;y)=f(x2+1y):齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日9/99弦振动方程的导出d’Alembert,JeanLeRond(1717-1783)法国êÆ[.在力Æ、流体力Æ、偏方面k基本贡献,也´最早ï议î格化4限概念的êÆ[.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日10/99弦振动方程的导出元分Û法:给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦,其长l,在 力作^下在平衡 置附近作的横振动,求弦上各点的运动规律..弦.´.均.匀.的:弦的截面直径弦的长度相比可以忽略,因d可À一根曲线,其线密度´常ê;.弦.在.一.平.面.内.作...横.振.动:=弦的 置©终在一直线附近,而弦上各点均在同一平面内R直该直线的方向上振动;.弦.´.柔.软.的,它在/变不抵抗 曲.弦上各点m的张力方向弦的切线方向一致,而弦的长/变张力关系服lHooke定律.另 ,跟张力相比,弦的重量全可以略去.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日11/99弦振动方程的导出元分Û法:给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦,其长l,在 力作^下在平衡 置附近作的横振动,求弦上各点的运动规律..弦.´.均.匀.的:弦的截面直径弦的长度相比可以忽略,因d可À一根曲线,其线密度´常ê;.弦.在.一.平.面.内.作...横.振.动:=弦的 置©终在一直线附近,而弦上各点均在同一平面内R直该直线的方向上振动;.弦.´.柔.软.的,它在/变不抵抗 曲.弦上各点m的张力方向弦的切线方向一致,而弦的长/变张力关系服lHooke定律.另 ,跟张力相比,弦的重量全可以略去.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日11/99弦振动方程的导出Oxuxx+xT(x;t) 1T(x+x;t) 2根据牛顿第二定律,Ä先讨论不É 力作^弦振动的情/.如图ï立坐标系,u(x;t)表«弦上各点在t刻÷R直ux方向的 移.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日12/99弦振动方程的导出在弦上任取一弦段(x;x+x),其弧长s=∫︁x+xx√︃1+(︃@u@x)︃2dx≈∫︁x+xxdx=x:(1.1)故dHooke定律知,弦上每一点所É张力mÃ关,可òx点?的张力T(x;t)PT(x),其方向总´÷着弦在x点?的切线方向.弦段水平方向合力零,=T(x+x)cos 2−T(x)cos 1=0;(1.2)cos 1=1⧸︁√︀1+[ux(x;t)]2≈1;(1.3)cos 2=1⧸︁√︀1+[ux(x+x;t)]2≈1;(1.4)⇒T(x+x)−T(x)=0:(1.5)故T´一个常ê.齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日13/99弦振动方程的导出根据在(t;t+t)m段内的冲量A等u动量的增\,k∫︁t+tt(Tsin 2−Tsin 1)dt=∫︁t+ttT[︃@u(x+x;t)@x−@u(x;t)@x]︃dt=∫︁x+xx[︃@u(x;t+t)@t−@u(x;t)@t]︃dx⇒∫︁t+tt∫︁x+xx[︃T@2u(x;t)@x2−@2u(x;t)@t2]︃dxdt=0dx,t的任意5知utt−a2uxx=0;(a2=T=):(1.11)齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日14/99弦振动方程的导出s≈xT(x)√︀1+u2x⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒x+xx=0Tux√︀1+u2x⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒x+xx=∫︁x+xxuttdx齐海涛(山东Æ%海分)êÆÔ理方程2008年12月9日15/99弦振动方程的导出推广1:如果弦在振动过程中还É到横向 力的作^,ü