数学物理方程定解问题

数学物理方程朱瑞2011年2月18日期末考试题之一：求解爆炸问题期末考试题之二：逆向求解散热问题期末考试题之三：求解回形振动吸热板的吸热过程数学物理方程•朱瑞[e-mail]18号楼205•教材：《数学物理方法》梁昆淼高等教育出版社（第三版）。•内容：教材第七章至第十二章。•答疑时间：随时在我办公室答疑，最好提前预约。•总成绩：期末考试：70%；平时成绩：30%.•关于课堂作业参考书•哈伯曼(HabermanR).《实用偏微分方程》.英文版第4版.北京：机械工业出版社,2005.•BoasML.《Mathematicalmethodsinthephysicalsciences》.2nded.NewYork:JohnWileyandSons,Inc.,1983.•这两本书都是英文的。我们图书馆都有。中外教材比较我们美国麻省理工大家想一想质点运动偶极子产生的电场在空间的分布扩散和热传导观看动画7.1节数学物理方程的导出数学物理方程•在以前的学习中，我们研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间而变化。研究以时间为自变数的常微分方程（质点的运动方程、电路微分方程）•研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度）在空间的某个区域中的分布情况，以及它怎样随时间而变化。•这些问题中的自变数同时包括时间和空间坐标。221,.txdxdiFmRitLidvtdtdtC数学物理定解问题•物理规律------偏微分方程（泛定方程）–解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。•环境影响------边界条件（定解条件）–研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存在，环境影响通过边界传给研究对象。•历史影响------初始条件（定解条件）–研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。适当举例加以解释课堂作业笔记P66页(5分钟)•求解两端固定质量不均匀细弦的微小横振动，弦上不同位置的密度分布为rou(x)•板书画图数学物理方程的导出——均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动——基本物理问题描述•绷紧的弦相邻小段之间有拉力，这种拉力叫做弦中张力。•张力沿着弦的切线方向。•弦乐器的弦很轻，重力相对于弦内张力很小，受力分析时可以忽略重力。均匀弦的微小横振动——基本物理问题描述•沿着弦的方向称为纵向。•垂直于弦的方向称为横向。•讨论微小横振动问题，即假设弦沿纵向没有运动和位移；沿横向有微小的运动和位移。均匀弦的微小横振动超越质点问题和刚体问题，讨论连续弹性体的运动方程板书推导并讲解均匀弦的微小横振动对位置在x到x+dx之间的一小段弦进行受力分析，列出牛顿力学方程113111221111221122tan!3sin1cos,121cossinsin0coscosTTudxTTxdxFam均匀弦的微小横振动对位置在x到x+dx之间的一小段弦进行受力分析，列出牛顿力学方程2112,tan,tan0xxxxxdxxxttxdxxttxxTTTuxtuxuTuuudxuTu弦在x点的斜率02xxttuau均匀弦的微小横振动课堂作业（5分钟）推导匀质糖葫芦形状杆的纵振动方程。板书画图均匀杆的纵振动弹簧的运动我们怎样研究？弹性杆就是很硬的弹簧，即倔强系数很大的弹簧。均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动板书推导均匀杆的纵振动200ttxxxdxxxttxxttxxSdxuYSuYSuuYSdxxuYuuau课堂作业（5分钟）•在柱坐标系下求解热传导方程。1.体元如何建立，2.热量流入体元通过的横截面怎样计算，•板书画图热传导问题热传导问题热传导定律：热量从高温区域向低温区域传递，热流强度q与高低温度差的差值成正比，温度变化越剧烈，热流越大。uqkx热传导定律热传导问题能量守恒定律：单位时间内流入单位体积内的热量等于该体积内热能的增量。xxdxuqqcdxt能量守恒定律热传导问题uqkxxxdxuqqcdxt板书推导三维热传导问题uqkxxxdxuqqcdxt板书推导20ttxxuau20txxuau振动方程输运方程7.2节定解条件22(,)(,)txxttxxuaufxtuaufxt定解条件得到这样两类方程，物理问题的解定下来了吗？数学物理定解问题•物理规律------偏微分方程（泛定方程）–解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。•环境影响------边界条件（定解条件）–研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存在，环境影响通过边界传给研究对象。•历史影响------初始条件（定解条件）–研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。适当举例加以解释22(,)(,)txxttxxuaufxtuaufxt定解条件从数学角度，微分方程的解存在待定常数，待定常数由初始条件和边界条件确定。例如：022002,.1,.2dxvxvtxdtdxaxatvtxdt人口密度分布温度分布定解条件对于输运过程（扩散、热传导），初始状态指的是所研究的物理量u的初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）。因此，初始条件是：0,,,,,,tuxyztxyz已知函数定解条件对于振动过程（弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波，电磁波），只给出初始“位移”：0,,,,,,tuxyztxyz已知函数是不够的，还需要给出初始“速度”：0,,,,,.tuxyztxyzt已知函数定解条件对于振动过程（弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波，电磁波），只给出初始“位移”是不够的，还需要给出初始“速度”：观看动画定解条件从数学的角度看，就时间t这个自变数而言，输运过程的泛定方程只出现一阶的导数ut，是一阶微分方程，所以只需一个初始条件；振动过程的泛定方程则出现二阶的导数utt，是二阶微分方程，所以需要两个初始条件。20ttxxuau20txxuau振动方程输运方程课堂作业（5分钟）•两端固定弦的横振动问题，将弦拉成半圆弧，保持静止，释放，让弦自由振动，求这个定解问题的初始条件。•板书画图初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态：板书推导,uxt初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态：00,/22/,2//2,tLhLxuxthLLxLL稳定场问题策动力驱动振动问题可以看作没有初始条件的问题边界条件研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围环境的影响体现为边界上的物理状况，即边界条件。从数学角度看，泛定方程出现关于空间位置的二阶导数uxx，所以需要两个边界条件。什么是边界？由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域对于一维系统，它是两个端点对于二维系统，它是闭合曲线对于三维系统，它是封闭曲面要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况边界条件常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。边界条件第一类000000boundary,,,,,,,,xyzuxyztfxyzt第二类000000boundary,,,,,xyzufxyztn第三类000000boundary,,,,,nxyzuHufxyzt课堂作业（5分钟）•弦的纵振动问题，一端固定，另一端与一竖直弹簧相连，弹簧的另一端固定，求这个定解问题的边界条件。•板书画图。•笔记P66页。具体的例子（第一类边界条件）弦的两端固定而振动，边界条件为00,0xxLuu具体的例子（第一类边界条件）热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为FireIce0,,,xxLuxtuuxtu具体的例子（第二类边界条件）具体的例子（第二类边界条件）板书推导笔记P1~P2页具体的例子（第二类边界条件）纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克定律，边界条件为xLFtuxYS具体的例子（第二类边界条件）一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传导定律，边界条件为xLukFtx板书推导具体的例子（第三类边界条件）具体的例子（第三类边界条件）板书推导笔记P2页具体的例子（第三类边界条件）杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分析，边界条件为0xLuKuYSx一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合，例如：一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）00,xxLFtuuxYS一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）Fire0,xxLuuukFtx还有其他类型的边界条件……边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。具体问题具体分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要的边界条件。衔接条件针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义板书推导笔记P2~3页衔接条件针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义板书推导