数学物理方程整理

乐町工数串讲—数理方程部分Page1of6数学物理方程整理加了（重点）的是往届考试考察的内容第一章没什么内容。。。略过~~~~(_)~~~~一（重点）线性二次微分方程（PDEs）xxxyyyxyAuBuCuDuEuFuG特征方程：220xxyyABC换元，使用：(,)(,)xyxy24BAC112212)0,ihyperbolicconstconst解得取121ii)0(x,y)()with(y)0,parabolicconstyy解得取常取iii)0(,)(,)(x,y)(,)ellipticxyixyconstxy解得取验证：0xyxyJ，解出关于,的方程，再代回原来的变量,xy。二（重点）德朗贝尔(D’Alembert)方程（PDE的一种特殊情况）20,,0(,0)(),(,0)(),ttxxtuauxRtuxxxRuxxxR计算后知可取：xatxat即是：(,)()()uxtfxatgxat带入边界条件得到D’Alemgert公式：乐町工数串讲—数理方程部分Page2of611(,)()()()22xatuxtxatxatzdzxata若是再多了边界条件(0,)0/(0,)0,0xututt，则验证(),()xx是否为均奇函数或偶函数。三分离变量法(separationofvariablesonfiniteregion)解微分方程1（重点）边界条件为0的齐次方程（波方程(waveequation)，热传导方程(heatequation)，拉普拉斯方程(Laplaceequations)）以波方程为例：2,0,0(0,)(,)0,0(,0)(),(,0)(),0ttxxtuauxltutulttuxfxuxgxxl取(,)()()uxtXxTt带入第一个式子中，有2()()()()XxTtaXxTt设2()()()()TtXxaTtXx，代入到原方程组中分开,xt这两个变量，有()()0(0)()0XxXxXXl，2()()0TtaTt分0,0,0分别计算出n和相对应的()nXx，()nTt，001(,)()()()()nnnuxtXxTtXxTt用边界条件反算出待定的系数。2边界条件为0的非齐次方程将2(,)(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtuauFxtutultuxfxuxgx分为2i)(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtwawwtwltwxfxwxgx和2(,)ii)v(0,)(,)0v(,0)0,(,0)0ttxxtvavFxttvltxvx最终解(,)(,)(,)uxtwxtvxt3边界条件非0的非齐次方程将212(,)(0,t)(),(,)()(,0)(),(,0)()ttxxtuaufxtutulttuxxuxx分为(,)(,)(,)uxtwxtvxt，其中：乐町工数串讲—数理方程部分Page3of6211()()(,)()ttwxttxl，2111(,)(0,)(,)0(,0)(),(,0)()ttxxtvavfxtvtvltvxxvxx211121112111()()(,)(,)()(0)(0)()()(0)(0)(0)()()(0)ttfxtfxttxlxxxlxxxl注意这里的非齐次因数(,)fxt，1()t，2()t与t无关，那么(,)vxt是一个齐次方程。另注：这一章也有用极坐标计算的情况，具体处理方式相似，都是将变量分开计算。四贝塞尔方程1n次贝塞尔方程：222()()()()0FFnF根据Fuch定理，贝塞尔方程的标准形式可化为：2221()()()0xvyxyxyxxx，所以0()skkkyxxax令(),()vvJxJx为()yx的两个特殊解，进一步的化简可得：2020(1)()()!(1)2(1)()()!(1)2kkvvkkkvvkxJxkvkxJxkvk当v不为整数时，12()()()vvyxCJxCJx当v为整数时，容易有()(1)()nnnJxJx这时取(cos)()()()limsinvvnvnvJxJxYxv，12()()Y()nnyxCJxCx2（重点）贝塞尔公式-循环公式乐町工数串讲—数理方程部分Page4of61111(1)()()(2)()()(3)()()()(4)()()()vvvvvvvvvvvvvvdxJxxJxdxdxJxxJxdxxJxvJxxJxxJxvJxxJx特殊值：1212121212122()sin2()cos21sin()(1)21cos()nnnnnnnJxxxJxxxdxJxxxdxxdxJxxxdxx3贝塞尔公式-性质(1)()nJx和()nYx在正轴上有无穷个0点00(2)(0)1,(0)0(0),()xnnJJnYx(3)当m，用()nmx来表示()nJx的第m个零点，零点间的间距趋于，约为一个周期为2的函数，满足21()cos4221()sin42nnnJxxxnYxxx取()()nnmmxR，定义22()()0222()22()()()1()()()22RnnmnmnnnmnmnmNrJrdrRnJRRJR所以，对于定义在0,R上的()fr可以展开成傅里叶贝塞尔级数：()1()()nmnmmfrfJr其中()20()1()()anmnmnmfrfrJrdrN五雷德戴尔多项式(Legendrepolynomial)（自己凭感觉音译的~~(_)~~可能中文不对）1v次雷德戴尔方程222(1)2(1)()0dPdPxxvvPxdxdx乐町工数串讲—数理方程部分Page5of6根据柯西准则，方程解可写为0()kkkPxax的形式。当v为整数等于n，求解化简后得到第一类n阶雷德戴尔多项式：20(1)(22)!()2!()!(2)!kNnknnknkPxxknknk，其中,2,0,1,2...21,21,0,1,2...2nnkkNnnkk我们也有第二类雷德戴尔多项式()nQx方程的最终解为12()()()nnPxCPxCQx2（重点）雷德戴尔多项式-性质微分表达：21()(1)2!nnnnndPxxndx积分表达：1201()(1)cosnnPxxixd特殊值：012223424535()1;();1()(31);21()(53);21()(35303);81()(637015);8(1)1;(1)(1).nnnPxPxxPxxPxxxPxxxPxxxxPP满足关系：110,()()2,21nmnmPxPxdxnmn3雷德戴尔多项式-循环公式112111(1)(1)()(21)()()0,(1)(2)(1)()()(),(1)(3)()()()0,(1)(4)()()(1)(),(0)nnnnnnnnnnnnnPxnxPxnPxnxPxnxPxnPxnnPxPxxPxnPxxPxnPxn乐町工数串讲—数理方程部分Page6of6六（重点）傅里叶变换和拉普拉斯变换1傅里叶变换：1()()2ixFfxedx反变换：1()()2ixfxFed2拉普拉斯变换：0()()ptLpftedt反变换：1()()2siptsiftLpedpi性质等见信号与系统，讲的更详细附录：一往届考试题型（数理方程部分）：Q1-填空，Q2~Q8-大题Q1-i)解德朗贝尔方程（代进公式去~(_)~）Q1-j)雷德戴尔积分计算（性质运用部分）Q5分离变量解微分方程（貌似目前考过的都是波方程和热传导方程，也就是第四章的第一部分）Q6贝塞尔公式（性质运用部分）Q7PDE/傅里叶变换（PDE注意算的时候仔细就好）Q8拉普拉斯变换（傅里叶变换和拉普拉斯变换都是直接套公式。。）二最好都背下来的那一堆（分离变量法中用到）12()()0()xxXxXxXxAeBe22()()0()cossinXxpXxXxApxBpx31012()sin()sinnnnnnxfxaxafxdxlll410001101()()cos2()cosnnnafxdxnlfxaaxnxlafxdxll