《证明不等式的基本方法-反证法与放缩法》课件

不等式的证明2.3《证明不等式的基本方法--反证法与放缩法》2复习•不等式证明的常用方法:•比较法、综合法、分析法3三、反证法与放缩法1.什么是反证法？先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.2.反证法主要适用于什么情形？(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.4.21,1,2,0,1中至少有一个小于试证且已知例xyyxyxyx211.2,2)(22,21,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx50.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba,,,2求证为实数已知例cba.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba6•练习：若p0,q0,且p3+q3=2,求证：p+q≤2例3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①641又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴结论成立证明：设(1a)b1/4,(1b)c1/4,(1c)a1/4,7•在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：•要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)•要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)•这种证明方法,我们称之为放缩法。•放缩法的依据就是传递性。放缩法84,,,,12abcdRabcdabdbcacdbdac例已知求证cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd921.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加:,,.111ababababab练习已知是实数求证102222aabbaaccabc222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例5、巳知：a、b、c∈，求证：R略解222222,,3()2xyzxxyyyyzzzzxxxyz练习：已知实数不全为零，求证：11*62...2()nnn例：求证：111（n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232[(10)(21)(32)(1)]2.nnnn12)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,,,,2222Nkkkkkkkkkkkkkk②aa①BCCACA且以上如缩应用基本不等式进行放子或分母在分式中放大或缩小分一些项或加进舍掉放缩技巧有常用的后证即放大成如将中间量寻找一个一边放大或缩小放缩法就是将不等式的13补充练习题:mccmbbmaamcbaABC:,,,,.1求证为正数且的三边长是已知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf)()(,)(mbaba)()(.),0()(),0,0(1)(:又上是增函数在易知设函数证明14课堂小结•证明不等式的特殊方法:•（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行•适当的放缩实现证明的方法。•（2）反证法：先假设结论的否命题成立，•再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结•论成立的方法。15