《证明的必要性》教案 探究版

《证明的必要性》教案探究版教学目标知识与技能运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．过程与方法经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．情感、态度了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．教学重点理解推理、论证的必要性教学难点推理论证的过程教学过程一、情境导入小明任意画了几个三角形，用量角器分别测量各三角形内角的度数，然后把三个角度加起来，发现每个三角形的内角的和都是180度.于是他就得出了一个一般性的结论：小颖对小明的做法提出了异议：你怎么知道你的结论一定可靠呢？三角形有无数个，你才测量了几个三角形？即使测量几千个、几万个，也只是很小的一部分，怎么能从这很小的一部分的性质推出所有三角形的性质呢？再说，你的测量不可能没有误差，你怎么能确定三角形的内角和正好是180度，而不是181度或179度呢？三角形的三个内角的和等于180度？？?再来考考你的眼力：下图a，b，c中的谁与线段d在一条直线上？直接凭感觉很容易出现错误判断，只有亲自用直尺比量验证一下，才能确定问题的正确答案.设计意图：受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.二、探究新知在数学学习中，我们可以通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题，这些命题不一定是真命.我们一同来做几个猜想并验证的活动：1.某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2－n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2－n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．答案：列表归纳为n01234567891011…n2－n+1111111317233141536783101121是否为质数是是是是是是是是是是是不是2.小刚发现122，133，144，由此得到一个命题：任何一个整数都大于它的倒数.你认为小刚得出的命题正确吗？为什么？答案：不正确：如122，111，等．通过验证包括举反例发现：大于2的整数都大于它的倒数.3.小颖在一张纸上画出一条直线，这条直线把纸面分成2部分；她在纸上又画出一条直线，发现这两条直线最多可以把纸面分为4部分．于是她猜想：“三条直线最多可以把一个平面分为6部分．”小明则认为：“三条直线最多可以把一个平面分为7部分．”你认为谁dabc的说法是正确的？为什么？答案：通过画图验证发现：三条直线如果相交于一点，则可将纸面分成六部分；但是如果不相交于一点，则最多可以把纸面分成七部分，如图：通过猜想并验证活动，我们可以体会到：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根据地进行推理．推理的过程就是证明（proof）．三、典例精讲例1如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．DE与BC有怎样的位置关系和数量的关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行交流．解：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点．∵CG∥AD，∴∠A=∠ACG．∵∠AED=∠CEG，AE=CE，∠A=∠ACG，∴△ADE≌△CGE（ASA）．ADEBCGADEBC∴AD=CG(全等三角形对应边相等)．∵D为AB中点，∴AD=BD．∴BD=CG．又∵BD∥CG，∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．∴DG∥BC且DG=BC．∴DE∥BC，22DGBCDE．例2如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？解：连接AC．∵E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点，∴EF∥AC，EF=21AC；GH∥AC，GH=21AC．∴EF平行且等于GH．∴四边形EFHG为平行四边形．四、课堂练习1．（1）解决我们开始提到的问题，如图中三条线段a、b、c，哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下．（2）图中两条线段a与b的长度相等吗？ABECDFGH2．当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答案：1.（1）线段b与线段d在同一直线上．（2）线段a与b的长度相等．2.当n＝11时，231155nn，是合数，所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数．五、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1.要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．2.要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．设计意图：通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学杜绝随意性，数学是严密的科学．六、布置作业1．下列结论，你能肯定的是（）A．今天天晴，明天必然还是晴天．B．三个连续整数的积一定能被6整除．C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖．D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的2．下列推理正确的是（）A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁B．如果a＞b，b＞c，则a＞cC．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角3．如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（）A．因为∠1＝60º＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57ºB．因为∠4＝57º＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60ºC．因为∠2＝∠5，又∠1＝60º，∠2＝60º，故∠1＝∠5＝60º，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57ºD．因为∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60º－57º＝3º，故∠4＝57º4．你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确．并且试着说明理由．5．小洁、琳琳、晓彤、奇奇和聪聪5位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊．请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科看病？小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的．奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科．晓彤说：我最近夜里牙老疼．小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科．6．平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，AD中点，连接AE，CF，试问四边形AE是什么四边形？你能肯定吗？请说明理由．7．如图，在平行四边形中，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．答案1．B2．B3．C4．略5．晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科．6．四边形AECF是平行四边形，理由：因为E，F分别为BC，AD中点，故EC=12BC，AF=12AD，又因为平行四边形ABCD，故BC∥AD，因而有AF∥EC，且AF=EC，从而四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．7．DF∥BE，DF=BE，理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC=∠BEA=90º，故DF∥BE，又平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，由AB∥CD得∠DCF=∠BAE，因而在△DCF和△BAE中，DC=BA，∠DCF=∠BAE，∠CFD=∠AEB=90º．所以△DCF≌△BAE，所以DF=BE．七、课堂检测1．下列说法不正确的是（）A．若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角B．若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2C．若直线a∥b，a⊥c，则b⊥cD．若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠22．下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形3．下列结论你能肯定的是（）DAFECBA．今天下雨，明天必然还下雨B．三个连续整数的积一定能被6整除C．小明在数学竞赛中一定能获奖D．两张相片看起来很像，则肯定照的是同一个人4．如图所示，比较线段a与b的长度_______．5．在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为______．6．如果│a│=2，│b│=1，那么│a+b│=3吗？为什么？答案1．A．解析：可根据学过的平行线与对顶角的性质判定，易知选A．2．D．解析：根据正方形的判定方法，可知选项A，B，C都是正确的，选项D中四条边都相等的四边形只能保证是菱形，不能保证一定是正方形，所以说法不正确，所以选择D．3．B4．相等点拨：要实际测量才能判定，不要被表面现象迷惑．5．65°点拨：由AD2=BD·CD可推得Rt△ACD∽Rt△BAD．6．解：因为│a│=2，│b│=1，所以a=±2，b=±1．当a=2，b=1时，│a+b│=3；当a=－2，b=1时，│a+b│=1；当a=2，b=－1时，│a+b│=1；当a=－2，b=－1时，│a+b│=3．所以当│a│=2，│b│=1时，│a+b│的值不一定等于3，因为│a+b│的值还可能为1．