材料力学课件-第五章-弯曲内力

MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage1§5-2梁的约束与类型第五章弯曲内力§5-1引言§5-3剪力与弯矩§5-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§5-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系§5-6刚架与曲梁的内力MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage2§5-1引言•弯曲实例左图：跳板双杠撑杆MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage3弯曲构件计算简图:以轴线代表梁，设想外力作用在梁的轴线上，以便于计算与分析之用外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲；以弯曲为主要变形特征的杆件称为梁。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage4§5-2梁的约束与类型•主要支座形式与支反力固定铰支座：支反力FRx与FRy可动铰支座：垂直于支承平面的支反力FR固定端：支反力FRx,FRy与矩为M的支反力偶MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage5FFFF简支梁：一端固定铰支、另一端活动铰支的梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁（第7章研究）悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁静定梁－利用平衡方程可以确定全部支反力的梁，常见有静不定梁各种支座约束条件下的梁的类型MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage6§5-3剪力与弯矩FS－剪力M－弯矩•梁的内力剪力－作用线沿所切横截面的内力分量弯矩－矢量沿所切横截面的内力偶矩分量MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage7剪力：使微段有沿顺时针方向转动趋势为正弯矩：使微段弯曲呈下凹形为正弯矩符号另一定义：使横截面顶部受压为正•剪力与弯矩的符号规定MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage8假想地将梁切开，并任选一段为研究对象画所选梁段的受力图，FS与M均设为正由SFy=0计算FS由SMC=0计算M，C为截面形心任一指定截面剪力与弯矩的计算方法：截面法S1AyFFF()1AyMFbFbaMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage9§5-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。•剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。bFMxl11aFMxl22S1bFFl,S2aFFl,AC段(0x1a)：CB段(0x2b)：•方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩方程（函数），然后画其函数图象。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage10lABqFAyFByqFAyxFSM例1：试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。解：1、求支反力，由梁的平衡：FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴Ox轴3、在截面x处截取左段为研究对象，根据平衡条件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2M=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/20≤x≤lMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage11FS=q(l-2x)/2M=qx(l-x)/20≤x≤llABqFAyFByxo4、根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图注意事项：•载荷、剪力、弯矩图对齐•标注段值、极值、正负号•按工程图要求，请用工具作图FS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage12M0xFslABFAy=Me/lMe课堂练习Fsx+x+MMexMM0+Me/lMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage1313例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力（条件？）建立坐标系建立剪力弯矩方程：FS=-qx(0xa)M=-qx2/2(0xa)FS=-qa(ax2a)M=qa2-qa(x-a/2)(ax2a)$在集中力偶作用处(包括支座)弯矩有突变FS:xFS_qaM:xM+qa2/2__qa2/2qa2/2MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage14解：1.求支反力2oRlqF6olqFAy3olqFBy例：三角形分布载荷作用，画剪力与弯矩图2.建立剪力弯矩方程lxqxlqF00S26200S26xlqlqF32600xlxqxxlqM30066xlqxlqMl3lAyFByFABRF0qlx06qlAB0qqx03qlx06ql0qxlSFMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage153.画剪力弯矩图200S26xlqlqF－2次抛物线30066xlqxlqM－3次曲线00qlqdMxdxl20623/lxC396620300lqxlqxlqMCCClx06qlAB0qqx03qlSFxCxC06ql03qlMx2093ql/3l●MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage16作业：习题5-2(e)MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage17§5-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系一、微积分关系的推导取梁一长dx微段，研究它的平衡(a)0)d(d0SSSFFxqF,FySdddd0(b)CMxMMqxFxM0,2SddFqxSddMFx2ddMqx2q向上为正x向右为正时注意：积分关系：SSFqdxMFdx,MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage18二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）SddFqxSddMFx2ddMqx2SSFqdxMFdx,1.微分关系确定线形（Fs斜率=q，M斜率=Fs)q=常数，Fs直线：q0，Fs上斜；q0，Fs下斜；q=0，Fs水平。q=常数，Fs直线，M抛物线：Fs0，M上斜；Fs0，M下斜；Fs=0，M极值点。2.积分关系确定各段起点、终点值（面积关系）。3.载荷q的符号确定M图的凹凸性。q0，M凹；q0，M凸；q=0，M直线。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage19三、集中载荷情形M右qF左M左F右dxFqF左M左F右M右dxMF左+q(x)dx+F=F右M左+F左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右1.集中力处（向上为正）F左+F=F右，M左=M右2.集中力偶处（顺时针为正）F左+q(x)dx=F右M左+F左dx+M+q(x)dx2/2=M右F左=F右，M左+M=M右结论：(从左到右）在集中力处，剪力图沿集中力方向跳跃（突变）；在集中力偶处，弯矩图跳跃，顺时针力偶向上。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage20M图:q=0处,斜率Fs=常数,M直线;Fs0,上斜;Fs0,下斜q0处,M图凹;q0处,M图凸集中力偶Mo处,M图按Mo大小跳变,Mo顺时针上（逆下）各段终点M值=集中力偶值+Fs图左边面积Fs=0处,M图极值点利用微积分关系画剪力弯矩图小结Fs图:斜率q=常数,Fs直线;q0,上斜;q0,下斜集中力F处,Fs按F大小、方向跳变各段终点Fs值=集中力值(含支反力)+q图左边面积MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage213次凹曲线3次凹曲线2次凹曲线2次凸曲线直线M图2次凸曲线2次凹曲线Fs图q(x)=ax+b0(a0)q(x)=ax+b0(a0)q(x)=c0q(x)=c0q(x)=0q线形与外载关系MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage22例：利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：FAy=5qa/8FDy=7qa/85qa/87qa/83、积分关系求特征点剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线直线直线M图斜下水平水平Fs图q=常数0q=0q=0qFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1282、微分关系确定各段曲线形状：4、画剪力弯矩图：斜上斜上MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage23AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2++-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例：利用微积分关系画剪力弯矩图MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage24ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-例：利用微积分关系画剪力弯矩图qaqa22qaaACBqaMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage2523qaaaaqa()a2q3qa4qaaqa()bsF4qaqa23qa()cM24qa2144qa24qa例：利用微积分关系画剪力弯矩图MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage26Aaa()a32qaqB12qaqa232qasF12qa12qa32qa(1)axM218qa232qa(2)ax例：利用微积分关系画剪力弯矩图思考：1.如何计算支座反力？2.载荷作用在梁间铰上、铰链左侧梁端，铰链右侧梁端，剪力、弯矩图有无区别？集中力无差别，集中力偶有差别梁间铰仅能传递力，不能传递力偶矩MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage27若简支梁上承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，是否最大弯矩也发生在分布载荷的合力处？（设集中载荷与均布载荷的合力都不在梁中点）。思考：ABFabABq＋＋-FsMFsM＋＋-MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage282qaqaDqaa剪力图a22qa2qa232qa2qa弯矩图ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：已知剪力、弯矩图，试画载荷图。1.根据剪力图定集中与分布力2.根据弯矩图的跳跃值定集中与分布力偶。解：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage29作业：习题5-8(a)MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage30§5-6刚架与曲梁的内力刚架：用刚性接头连接的杆系结构；一、刚架刚性接头的力学性质：约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移受力－既可传力，也可传递力偶矩刚架中不但存在水平杆件，也可能有竖直杆件。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage31二、刚架的内力及其符号刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩MM认为正弯矩观察者B观察者A认为负弯矩•关于刚架的内力符号：轴力、扭矩、剪力符号规定同前。其正负与杆件的方位无关，但竖直杆件的弯矩符号易有歧义。F认为正剪力观察者B观察者A也认为正剪力F有的教材规定竖杆一侧看作横杆顶或底面的延伸部分，可能导致矛盾。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage32•关于平面刚架的内力图（剪力、弯矩、轴力）竖直杆件的弯矩正负与观察方位有关，但弯矩图的位置无歧义，都画在受压侧MM认为正弯矩观察者B观察者A认为负弯矩M两观察者均会将图画在右侧（受压侧）规定：正的剪力、轴力画在刚架外侧或上侧，负的剪力、轴力画内侧或下侧，标正负弯矩画在受压侧，不标正负竖直杆件的其它内力正负与观察方位无关，但内力图的位置有歧义MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage33ABqCaa1、求支反力FAx=qaFAy=qa/2Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐标x2x13、分段列内力方程：CB段：Fs=-Fcy=-qa/2M=qax1/2FN=0AB段：Fs=qa-qx2M=qax2-qx22/2FN=qa/2qa/2_+qaFS图qa2/2qa2/2M图FN图qa/2+例：列内力方程，画内力图。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage34三、曲梁