自动控制理论_23状态空间分析方法

经典控制理论描述系统数学模型的方法：外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输出关系的传递函数；第九章状态空间分析方法现代控制理论描述系统数学模型的方法：内部描述：一阶微分方程（时域）从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来探讨系统的内特性，设计状态反馈和输出反馈。卡尔曼经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出模型；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有内部信息；无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。什么是系统？•系统是由若干个部分相互联系而构成的有机整体.•包括内部结构和内部信息•系统内部也分成两部分：互连关系行为和状态一、状态空间的基本概念如何选取内部信息？•由控制任务决定：不同的系统有不同的控制任务。•选取应全面，应覆盖所有的内部信息•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”，即线性无关。•状态：系统内部运动信息的集合•系统状态为各元器件的电压和电流•状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。•特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一•状态向量：状态变量的矢量组合•状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。)),(),(()(ttttuxfx向量形式：1n状态向量输入向量1r•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的个代数方程，称为系统的输出方程。m)),(),(()(ttttuxgy向量形式：输出向量1m[例]Ky1Mf)(tu解：依据牛顿定律)(1tuKyyfyM选择两个状态变量yxyx21)(1211221tuMxMfxMKxxx状态方程写成矩阵形式：)(1002121tuMxxMfMKxx1uAbxx)(1211221tuMxMfxMKxxx解：例：建立如图所示的RLC电路的状态方程和输出方程。)(1teidtcRidtdiL微分方程11)()(2RCsLCssEsEC传递函数只反映外部情况，无法获知内部联系RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出图1)(te)(tec定义状态变量idttx)(2)()(1titx二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量Ttxtxt)](),([)(21xRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出)(te)(tec整理得一阶微分方程组为)(1211teLxLc1xLRx状态方程12xxRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出)(te)(tec)(01)()(011)()(2121teLtxtxLCLRtxtx写成矩阵相乘的形式)(1211teLxLc1xLRx12xxLRLC110ALb10可简写为buAxx式中,选，则得到一阶微分方程组：idtcxix1,21112xCx即：uLCLLR01011xx状态变量选择不同，状态方程也不同。)(11211teLxLxLRx2121xxxxPidtCiidti1idtxix21idtCxix121两组状态变量之间的关系C001PP：非奇异矩阵C001xPx记为二、系统de状态空间表达式电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。2）根据基尔霍夫电压定律，列写2个回路的微分方程：2121222221212121111)()()(uRiiuRidtdiLuRiiuRiidtdiLuA右回路左回路整理得：21211222221121221112111111111uRiRiuuLiLRRiLRdtdiuLuLiLRiLRdtdiAL2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1212111211112121100211221211111uuxxRRuuuxxxxALLLLRRLRLRLR3）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR2211ixix，令21211222221121221112111111111uRiRiuuLiLRRiLRdtdiuLuLiLRiLRdtdiA1)选取个状态变量；确定输入、输出变量；建立状态空间表达式的步骤n状态变量、输入变量、参数输出变量、状态变量、输入变量、参数2)根据系统微分方程列出个一阶微分方程；n3)根据系统微分方程，列出个代数方程。m4)状态变量的选取原则选择系统储能元件的输出物理量；选择系统输出及其各阶导数；根据微分方程建立状态空间：uyayayaynn01)1(1n)(选择状态变量)1()2(121,,,,nnnnyxyxyxyx1xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221状态方程输出方程2.）化为向量矩阵形式：uxxxaaaxxxnnn100100102111021x001y001cbA,100,10010110naaa系统矩阵控制矩阵输出矩阵cxbAxxyu状态方程输出方程友矩阵nxnx1nx2x1x3.）系统结构图：0au1xy2na1a1na11xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221则状态空间表达式为：解：选择状态变量123,,xyxyxy123,,xyxyxy13213322166116xyuxxxxxxxx例考虑系统5863yyyyu试写出其状态空间表达式。uyyyy661161x2x3x3xu系统结构图123,,xyxyxy13213322166116xyuxxxxxxxx611661xy用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：ubAxxducyx1n维列向量1n控制矩阵输入矩阵n1观测矩阵输出矩阵状态矩阵系统矩阵系数矩阵nn为标量uyd,,Txnxxx21多输入多输出定常线性系统BuAxxDuCxyxAxBuyCxDu三、线性定常系统状态方程的解可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程,本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。前面我们讨论了状态空间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。由于状态空间表达式由两部分组成,即仿照纯量微分方程：kkttttbbbbx2210)(向量代入微分方程：)()()(2210kktttttbbbbAAxx1232132)(kktktttbbbbx123120132kkkAbbAbbAbbAbb对求导：)(tx两式相等必有：123120113121kkkAbbAbbAbbAbb02!21bA03!31bA0!1bAkk*齐次状态方程的解：)()(ttAxx已知状态方程求?)(tx123120113121kkkAbbAbbAbbAbb)(ttAx)(x仿照纯量微分方程：kkttttbbbbx2210)(向量kktktt020200!1!21bAbAAbb123120132kkkAbbAbbAbbAbb02!21bA03!31bA0!1bAkk)!1!21(22kktkttAAAI0b代入)(tx)(ttAx)(x)1!21()(22kktktttAAAIx0b0t0)0(bx)0(1!21()(22)xAAAIxkktktttkkttktteAAAIA1!2122矩阵指数函数)(tΦ状态转移矩阵)0()(xxAtet描述了状态向量由初始状态向任意时刻状态转移的内在特性。)0(x)(tx(3)求齐次状态方程解的关键是求转移矩阵。(2)系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于eAt，故称其为状态转移矩阵.(1)齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解；小结：状态转移矩阵具有以下性质)()()2(1ttΦΦIΦ)0()1()()()()3(011202ttttttΦΦΦ)()()4(kttkΦΦ状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵)0(x)0(1t)(12ttt1x2x0)(1tx1t)(2tx2t例：求解系统状态方程21210010xxxx)0()(xxAtetkktkttAAAI!1!2122)0(x0000001000102A00003nAAtettAIΦA)(t00101001101t)0()0(101)()(2121xxttxtx)0()()0()0()(22211xtxtxxtx解：*用拉氏变换法求解状态转移矩阵齐次状态方程：)()(ttAxx初始状态为：)0(|)(0xxtt两边取拉氏变换得：)0()()(1XAIXss整理得：)()0()(sssAXXX拉氏反变换得：)0(])[()(11xAIxsLt例用拉氏反变换法计算状态转移矩阵：0123A123ssIAs1311232ssIAsss31121221212ssssssssss解：12111121222121212AtsssseLssss则有：22222222tttttttteeeeeeee四、传递函数矩阵1、定义及表达