Matlab实现多元回归实例

1Matlab实现多元回归实例（一）一般多元回归一般在生产实践和科学研究中，人们得到了参数,,nxxx1和因变量y的数据，需要求出关系式yfx，这时就可以用到回归分析的方法。如果只考虑f是线性函数的情形，当自变量只有一个时，即，,,nxxx1中n1时，称为一元线性回归，当自变量有多个时，即，,,nxxx1中n2时，称为多元线性回归。进行线性回归时，有4个基本假定：①因变量与自变量之间存在线性关系；②残差是独立的；③残差满足方差奇性；④残差满足正态分布。在Matlab软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress，调用格式如下：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)或者[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)此时，默认alpha＝0.05.这里，y是一个1n的列向量，X是一个1nm的矩阵，其中第一列是全1向量（这一点对于回归来说很重要，这一个全1列向量对应回归方程的常数项），一般情况下，需要人工造一个全1列向量。回归方程具有如下形式：011mmyxx其中，是残差。在返回项[b,bint,r,rint,stats]中，①01mb是回归方程的系数；②intb是一个2m矩阵，它的第i行表示i的(1-alpha)置信区间；③r是1n的残差列向量；④intr是2n矩阵，它的第i行表示第i个残差ir的(1-alpha)置信区间；注释：残差与残差区间杠杆图，最好在0点线附近比较均匀的分布，而不呈现一定的规律性，如果是这样，就说明回归分析做得比较理想。⑤一般的，stast返回4个值：2R值、F_检验值、阈值f，与显著性概率相关的p值（如果这个p值不存在，则，只输出前3项）。注释：2（1）一般说来，2R值越大越好。（2）人们一般用以下统计量对回归方程做显著性检验：F_检验、t_检验、以及相关系数检验法。Matlab软件包输出F_检验值和阈值f。一般说来，F_检验值越大越好，特别的，应该有F_检验值f。（3）与显著性概率相关的p值应该满足palpha。如果palpha，则说明回归方程中有多余的自变量，可以将这些多余的自变量从回归方程中剔除（见下面逐步回归的内容）。这几个技术指标说明拟合程度的好坏。这几个指标都好，就说明回归方程是有意义的。例1（Hamilton，1987）数据如下：序号YX1X2112.372.239.66212.662.578.94312.003.874.40411.933.106.64511.063.394.91613.032.838.52713.133.028.04811.442.149.05912.863.047.711010.843.265.111111.203.395.051211.562.358.511310.832.766.591412.633.904.901512.463.166.96第一步分析数据在Matlab软件包中分析是否具有线性关系，并作图观察，M—文件opt_hanmilton_1987：x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16];x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96];y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46];corrcoef(x1,y)corrcoef(x2,y)plot3(x1,x2,y,'*')得到结果：ans=1.00000.002530.00251.0000ans=1.00000.43410.43411.0000即，corrcoef(x1,y)＝0.0025，corrcoef(x2,y)＝0.4341，说明没有非常明显的单变量线性关系。图形如下：也看不出有线性关系，但是，旋转图形，可以看出所有点几乎在一个平面上。这说明，,1,2yxx在一个平面上，满足线性关系：1122axaxbya或者，换成一个常见的形式01122yaaxax其中，是残差。于是，在Matlab软件包中做线性多元回归，写一个M—文件opt_regress_hamilton：x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16]';x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96]';y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46]';e=ones(15,1);x=[e,x1,x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)rcoplot(r,rint)其中，rcoplot（Residualcaseorderplot）表示画出残差与残差区间的杠杆图。执4行后得到：b=-4.51543.09701.0319bint=-4.6486-4.38223.07033.12381.02381.0399r=0.0113-0.0087-0.0102-0.00690.0101-0.0106-0.0037-0.01050.0049-0.01360.00570.0163-0.00230.01100.0071rint=-0.00870.0314-0.03030.0128-0.03010.0098-0.02990.0162-0.01060.0308-0.03130.0102-0.02520.0178-0.02990.0089-0.01740.0272-0.03310.0058-0.01610.0275-0.00270.0354-0.02360.0190-0.00790.0299-0.01560.0298stats=1.0e+004*0.00013.922200.00005即，124.5153.0971.0319yxx。置信度95％，且21.0,_RF检验值392220，与显著性概率.005相关的0.00000.05p，这说明，回归方程中的每个自变量的选取，都是有意义的。残差杠杆图：从杠杆图看出，所有的残差都在0点附近均匀分布，区间几乎都位于0.03,0.03之间，即，没有发现高杠杆点，也就是说，数据中没有强影响点、异常观测点。综合起来看，以上回归结果（回归函数、拟合曲线或曲面）近乎完美。（二）逐步回归假设已有数据X和Y，在Matlab软件包中，使用stepwise命令进行逐步回归，得到回归方程nnYaXaXaX1122，其中是随机误差。stepwise命令的使用格式如下：stepwise(X,Y)注意：应用stepwise命令做逐步回归，数据矩阵X的第一列不需要人工加一个全1向量，程序会自动求出回归方程的常数项（intercept）。在应用stepwise命令进行运算时，程序不断提醒将某个变量加入（Movein）回归方程，或者提醒将某个变量从回归方程中剔除（Moveout）。注释：①使用stepwise命令进行逐步回归，既有剔除变量的运算，也有引入变量的运算，它是目前应用较为广泛的一种多元回归方法。②在运行stepwise(X,Y)命令时，默认显著性概率.005。例2（Hald,1960）Hald数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量Y（单位：卡／克）与水泥中4种化学成分所占的百分比有关：::::xCaoAloxCaoSioxCaoAloFeoxCaoSio12322323234233426在生产中测得13组数据：序号X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4求出关系式YfX。解：（1）本问题涉及的数据是5维的，不能画图观察。先做异常值分析。X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12];Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4]';A=[X,Y];mahal(A,A)程序执行后得到结果：ans=5.68033.64846.70023.36763.38394.43004.00806.50673.08497.50165.17682.4701可以认为数据都是正常的。（2）一般多元回归。在Matlab软件包中写一个M—文件opt_cement_1:X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12];7Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4]';a1=ones(13,1);A=[a1,X];[b,bint,r,rint,stat]=regress(Y,A)rcoplot(r,rint)程序执行后得到：b=62.40541.55110.51020.1019-0.1441bint=-99.1786223.9893-0.16633.2685-1.15892.1792-1.63851.8423-1.77911.4910r=0.00481.5112-1.6709-1.72710.25083.9254-1.4487-3.17501.37830.28151.99100.9730-2.2943rint=-4.03904.0485-3.23316.2555-5.31261.9707-6.56033.1061-4.57735.0788-0.56238.4132-6.07673.1794-6.89630.5463-3.54266.2993-3.00983.57298-2.23726.2191-4.13386.0797-6.91152.3228stat=0.9824111.47920.00005.9830以及残差杠杆图：于是，我们得到：.....Yxxxx123462405415511051020101901441并且，残差杠杆图显示，残差均匀分布在0点线附近，在stat返回的4个值中，R2＝0.9824，说明模型拟合的很好。F_检验值＝111.47920.000，符合要求。但是，与显著性概率相关的p值＝5.98300.05，这说明，回归方程中有些变量可以剔除。（3）逐步回归在Matlab软件包中写一个M—文件opt_cement_2:X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,