金融数学笔记

-1-第一讲Black-Sholes公式的离散形式证明一、Black-Sholes的期权定价公式看张期权的定价公式：12()()rTcsdked看跌期权的定价公式：21()()rTpkedsd其中21ln(/)(/2)skrTdT21ddTts为标的物的价格且[0,]tT，Ts为到期时的股票价格；r为无风险利率;k为敲定价格。二、证明(1)两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利(a)[0,]T分为N等份，每一段时间为TN(b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p的概率变为1+b；以1-p的概率变为1+a。每一个等份内的利率为R，(2)易知111aRb。(3)构造离散形式的二叉数模型上面的二叉树可以一直延续到第N期，期末的财富为Tw。N阶段必然有N+1个终点，其中包括：0NC个(1)Nb，1NC个1(1)(1)Nba，…kNC个(1)(1)Nkkba…,NNC个(1)Na。(4)在T时刻有{(1)(1)}(1)NkkkNkkTNPwbaCpp如果我们令TTssw，就可以得到下式：{(1)(1)}(1)NkkkNkkTNPssbaCpp(5)期权在N时刻的价值call:()[(1)(1)]NkkNsksbakput:()[(1)(1)]NkkNksksba（1+b）2（1+b）（1+a）（1+a）2（1+b）（1+a）1（1+b）n-1（1+a）（1+b）n-k（1+a）k（1+b）n（1+b）n…………………………p1-ppp1-p1-p-2-()01()(1)[(1)(1)](1)NNkNkkNkkNNNkcEskCppsbakR()01()(1)[(1)(1)](1)NNkNkkNkkNNNkpEksCppksbaR(6)看张和看跌期权的平价关系由步骤（5）可知：(1)NNNkcpsR(7)收益率的换算因为TrRN，所以连续复利elim(1)lim(1)rTNNNNrTRN。又因为1(1)(1)(1)Rpbpa根据无套利均衡原理，平均收益率(1)(1)1abR令1log1aTRN，则1log1RTbN(8)二项分布的正态逼近定理：设()()()12NNNNNYXXX，()NkX独立同分布。对其中的()NkX有(){}1NkTPXpN，(){}NkTPXpN则：(Ⅰ)2()/2NEYT(Ⅱ)2()NVarYT(Ⅲ)22(,)2NTYNT证明：由于11(1)111RabppR＋，将1log1aTRN和1log1RTbN带入可以得到：11pTNe取极限有：1lim2Np(Ⅰ)2(21)(1)1TTEYNpNNNNTNe22limNNEYT(Ⅱ)()22()NkTEXN；()222[()](21)NkTEXpN-3-2222()(21)4(1)NkTTTVarXpppNNN所以有2()()4(1)NNTVarYNVarXppT2lim()NNVarYT(Ⅲ)()NkX的特征函数()22()(1)1(21)()2TTNiuiuiuXTTTNNkEepepeiupuNNN()22()()()[1(21)()]21NNiuXiuYNTTTNkYEeEeiupuNNNNk22(21)2222/2/2lim()[1()]TTiuNpuNNiuTTuTYeNNNN所以22(,)2YNTTN(9)看跌期权的价值令()log1wNkXkR所以log11NwkRk1NsswNkk()(1)()[(1)]1NYrTrTNNNNpEkswEksekNNk令()()rTyHykese()[()]0NNpEHY()limlim[()][lim()]NppEHYEHYNNNNN22()2212()2TyyrTTkeseedyT再令22TyyzT，22TyzTdydzT所以-4-22122()2zTzTrTpkeseedz又因为当2log22kTrTszdT时22TzTrTkese所以221222()2zTzTdrTpkeseedz221222()22TzzTdrTkedseedz2()122()()22zTdrTkedsedzT令zTv有2122()22vdTrTpkedssedv再令12ddT进一步可得到：()()21rTpkedsd(10)由步骤(6)的平价关系可知：limlim[(1)]NNNrTrTccpskpskeNNN[1()][1()]12rTsdked()()12rTsdked第二讲证券投资组合理论一、证券投资组合的收益风险测定1、单一证券的收益风险的测定R为某种证券在一段时间内的收益率，是随机变量E(R)——预期收益率——证券风险2、两个证券收益与风险的测定1ABxxpAABBRxRxRcov()ABABABRRr-5-预期收益率：pAABBERxERxER风险222222cov(,)pAABBABABxxxxRR22222AABBABABABxxxxr3、两个证券pER、p、A、B之间的关系①1,pAABBrxx②1,pAABBrxx③222220,pAABBrxx4、多种证券的组合12(,,)nRRRR，12X(,,)nxxx，11niix1122pnnRRxRxRx2TpXX二、有效边界和最优投资组合⑴可行集⑵有效集⑶风险偏好，无差异曲线⑷最优投资组合三、无风险资产无风险资产收益确定，方差为零。M1M2RfRfMmpERpBAｒ＝１ｒ＝－１ｒ＝0-6-四、有效边界线为双曲线1、两基金分离定理：有效边界上的任一点都可以由上面的两个不同点的线性组合表示2、有效边界线为双曲线的证明:资产权重：12[,,,]Tn资产收益（列向量）：12[,,,]TnRERERER[1,1,,1]1T[0,0,,0]T0资产的协方差矩阵：()ijnnU2Tpww1122()TnnErwERwERwERwR1min2TwUw约束条件：(),1TTErwRw1构造拉格朗日函数：1min(())(1)2TTTLErwUwwRw10LUw1w①()0TLErwR10TLw1由①得：11()TTTErwRRURRU1111TTT1w1UR1U1记11TTA1URRU11TBRUR1TC1U12DBCA(B0,C0,D0)则：()1BAErAC解得：()CErAD()BAErD记111[()()]FBADU1UR111[()()]HCADURU1得：()FErHw设1w，2w是对应上式的两个点11(,)Er，22(,)Er。第三点(,())pppwEr-7-取一，使得：12()(1)pErErEr1212(1)[()](1)[()]()pp在有效边界上任取一点P,21TpppwwU211121[()][()]2()()TTTTpppppFErHFErHFFErFHErHHUUUU⑴12111121121[()()2()()()()]TTTTFFBABADU1UUU1RUUU1RUUUR2221(2)BCABAABD⑵TAFHBU⑶1TCHHDU即：22111[()2()](())ppppAErCBAErErDDCC最小方差集是均值—方差坐标系中的双曲线的一支。第三讲资本资产定价理论一、资本市场线)(prE＝pmfmfrrEr*)(令fm＝1,其中，f表示无风险，m表示有风险如果f0,m=1－f1如果f0,m=1－f1二、证券市场组合点A,B表示两种股票(有风险)，F表示无风险债券A：总市值660亿元,B：总市值220亿元，F：总市值120亿元Rf0σmσ-8-三、资本资产定价模型（CAPM）1、2p＝ijjpninj11ip＝pTp＝][11ipijjpninj=ipni1ipip=ijjpni1（p,p,……，p）T＝pp＝pTp2、m＝mTm＝niimim1有风险的市场组合，与各个资产i和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险i无关im，m,iim越大，市场组合的整体风险越大E(ri)=a+bim四.证券市场线（SML）E（ir）=immfmfrrEr2])([=])([fmifrrEr其中2mimi为贝塔系数。资本市场线与证券市场线的区别：资本市场线中，M表示市场组合。证券市场线表示某一个证券在市场中的风险，等。五.证明2mimi。证：设有一投资组合P，风险证券i和有风险的市场组合M。第i个证券的比例为，有风险市场组合M的比例为1。)()1()()(miprErErE212222])1()1(2[mimip)()()(miirErEdrdE-9-212222222])1()1(2[2mimiimimmmipdd两式相除：dddrdEdrdEpipi)()(资本市场线的斜率])([)()()(|)()(220fmmimfimimimmpimfmrrErrErErEdrdErrE])([fmifrrEr其中ir为均衡市场上第i个产品的投资收益率。资本市场线上])([)(fmmpfprrErrEP是资本市场线上的点，为投资人期望的投资收益率。第四讲随机分析一、Wiener过程1、定义如果随机过程(),[0,]ZttT满足（1）(0)0Z（2）()Zt是齐次的独立增量过程（3）对于每一个[0,]tT，有2()~(0,)tZtN则称随机过程()Zt为维纳过程。特别的当σ=1时，()~(0,)ZtNt，(0)0Z称为标准的维纳过程。对于120tt，1()(0)ZtZ，21()()ZtZt是相互独立且22121()()~(0,())ZtZtNtt2、定义①均值函数：()[()]ZtEZtm②方差函数：()[()]ZtVarZtD③（自）协方差：1212(,)[(),()]KttCovZtZt-10-④（自）相关函数：1212(,)[()()]RttEZtZt3、二阶矩过程定义若随机过程(),[0,]ZttT，对于任意t，都有()()mtDt1212(,)(,)KttRtt二、均方极限nnZZ1、Z与Y相等，()1PZY①()()EZEY②()0VarZY有上两式知：2()0EZY2、均方极限2lim()0nnEZZ