金融数学课件-债券和股票--(共38页)

1债券和股票Bondsandstocks孟生旺中国人民大学统计学院2一、债券(bond)含义：债的证明书。投资者和发行者之间债权债务关系的法律凭证和契约。基本要素：票面价值（面值）：我国一般为100元，美国一般为100或1000美元。价格：平价，溢价，折价偿还期限：长期（10年以上），中期（1－10），短期（1年以内）。票面利率。根据利息支付方式，可分为附息债券（coupon）和零息债券（zero-coupon）。3政府债券国债地方政府债券金融债券公司债券债券的种类：4债券定价的基本原理P—债券的价格(bondprice)i—债券的到期收益率（yield-to-maturityrate),internalrateofreturnonthebond.F—债券的面值（parvalue，faceamount,nominalvalue）r—债券的息票率（couponrateperpaymentperiod）rF—息票收入(coupon)C—债券的偿还值（redemptionpayment），通常等于债券的面值，即C=F。例外：提前偿还时，偿还值不等于债券的面值。5g—修正息票率（modifiedcouponrate,couponrateperpaymentperiodintermsoftheredemptionamount），是息票收入与偿还值C的比率，即g=rF/C。因此，gC=rF。n—息票的支付次数(numberofcouponpayments)。G—基价（baseamountofabond）。把基价按利率i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即iG=rF。息票收入等式：rF=gC=iG。6)))rFgCiG息票收入息票率（）面值(息票收入修正息票率（）偿还值(息票收入收益率（）基价(衡量息票收入的三个指标：7债券价格的计算：四种方法。（1）基本公式债券的价格等于按市场利率i计算的未来息票收入的现值与偿还值的现值之和，即可见，债券的价格与市场利率成反比关系。1ntntPrFvCvnnrFaCvF—债券的面值C—债券的偿还值r—债券的息票率8对上式求关于i的一阶和二阶导数，可得一阶导数小于零，说明P是i的减函数。二阶导数大于零，说明P是i的凸函数（下凸），如图所示。0)(111nnttCnvvtrFdidP0)1()1(21222nnttvnCnvttrFdiPd9债券价格与市场利率关系当市场利率下降时，债券价格将以加速度上升；当市场利率上升时，债券价格将以减速度下降。10（2）溢价公式（premium/discountformula）P=rF+Cvn=rF+C(1–i)=C+(rF–iC)=C+(gC–iC)=C[1+(g–i)]见下页解释|na|na|na|na|na|na11溢价公式的一种解释：CiCiCiCiCCPrFrFrFrFC()nPCrFiCa12当价格P超过偿还值C时，就称按溢价(premium)出售溢价=P–C=C(g–i)当溢价为零时，修正息票率g将等于收益率i。当债券的价格P小于其偿还值C，债券就按折价（discount）出售，即负的溢价。|na|[1()]nPCgia13债券的账面值（bookvalue)：持有人在债券上的投资余额。Basedontheyieldatwhichthebondispurchased(whichisknownasabookyield).1()nPCgia111()nBVCgia1()tntBVCgia1()nnnBVCgiaC期初：第1期末：第t期末：第n期末：14相邻两个账面值之差就是各年的溢价补偿金额(premiumamortizationamount)：111()2()()()nnntCgivCgivtCgivnCgi第年：第年：......第年：......第年：上述溢价补偿金额之和为：|()nCgia1()nPCgia15例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，期限为3年，到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为5%，试计算债券的价格以及投资者在各年末的帐面值。解：F(面值)=C(偿还值)，故息票率r=修正息票率g。已知：F=C=1000，r=g=6%，i=5%，用溢价公式：债券价格超过了偿还值，溢价金额为27.23元。30.05[1()]1000[1(0.060.05)1027.23nPCgiaa卡盟排行榜，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等17下面分析溢价将在以后各期如何获得补偿。投资者在第一年应该得到的利息收入为1027.23×0.05=51.36（元）第一年实际得到的息票收入为1000×0.06=60（元）息票收入超过了利息收入，这个差额被称作溢价补偿金额(premiumamortizationamount)。第一年的溢价补偿金额为60–51.36=8.64（元）18从第一年初的帐面值中减去第一年的溢价补偿金额即得第二年初的帐面值为1027.23–8.64=1018.59（元）以后各年的帐面值和溢价补偿金额如下表所示。年份息票收入Coupon应得利息收入Interestearned溢价补偿金额Amortizationofpremium帐面值Bookvalue01027.2316051.368.641018.5926050.939.071009.5236050.489.521000合计180152.7727.23注：溢价补偿金额的总和正好等于购买价超过到期偿还值的金额，即溢价(premium)。19（3）基价公式（baseamountformula）基价是投资者为了获得与息票rF相等的周期性收益所必须的投资额，即iG=rF。基价公式：|nnnnPrFaCviGaCv解释（下页）(1)()nnnGvCvGCGv20解释：P=G+(C–G)vn如将基价G按i投资，可获得周期性收益（iG=rF），到期获得G的偿还值。如购买债券，可获得周期性收入rF，到期获得C的偿还值。购买债券多获得(C–G)的偿还值，其现值为(C–G)vn，故购买债券应该多支付(C–G)vn。21（4）Makeham公式息票收入rF=gC，故由基本公式得K是偿还值C的现值，是息票收入的现值。如修正息票率g与收益率i相等，则P等于偿还值C。)(KCig1()()nnnnnvPgCaCvgCCvigCKKCKiv22分期偿还债券的价格（Makeham公式的一个应用）分期偿还债券：在不同的时间分期进行偿还。假设某债券的面值为1000元，年度息票率为5%，从第6年末开始，发行人每年末偿还205元，直至第10年末还清。这个分期偿还债券的系列付款如下表所示。时期012345678910息票收入50505050505040302010偿还值20520520520520523如果市场利率为6%，则偿还值的现值为未来息票收入的现值为因此上述债券的价格为645.28+308.71=953.99（元）555205205(10.06)(4.212)645.28va5555010()308.71avDa24应用Makeham公式可以简化计算过程：应用该公式，只需要：偿还值及其现值，修正息票率g，利率i。将上述债券分解为5种面值均为200元，偿还值均为205元，偿还期分别为6，7，…，10的债券。()gPCKKi时期012345678910面值1000偿还值20520520520520525如果分解后的每种债券具有相同的修正息票率g，第s（s=1，2，3，4，5）个债券的价格可表示为则原债券的价格为()sssgPCKKi555111()ssssssgPCKKi26在上例中，每个债券的修正息票率均为g=200×5%÷205=0.048785种债券的偿还值之和为5种债券的偿还值的现值之和为所以原债券的价格为5120551025ssC5551205645.28ssKva555111()953.99ssssssgPCKKi27()[1()]()()nnnnnPrFaCvCrFiCaCgiaGCGvgCKKi债券价格的计算公式（小结）：基本公式溢价公式基价公式Makeham公式28债券在任意时点上的价格和帐面值任意时点上债券的价格（假设利率不变，为i）设：债券在上一个息票支付日期的价格为P0下一个息票支付日期的价格为P1用Pt表示在两个息票支付日期之间的价格（0t1）0t1P0PtP1时间价格29债券在时间t的价格可用两种方法计算：Pt=(1+i)tP0（过去法）Pt=(rF+P1)(1+i)–(1–t)（将来法）这两式是等价的，证明如下：P0和P1存在下述关系：P1=P0(1+i)–rF或rF+P1=P0(1+i)代入将来法公式，即证。注：Pt中包含在时间1到期的部分息票收入，P1不包含。30任意时点上债券的帐面值（假设利率不变，为i）账面值：实际投资余额。在息票支付日，账面值等于债券价格，在其他时点，要从价格中扣除应计息票收入。假设在时间0的价格（等于帐面值）为P0按复利计算，在时间t（0t1）的价格为Pt=(1+i)tP0从此价格中扣除应计息票收入，即得在时间t的帐面值为其中(rF)t表示从时间0到时间t的应计息票收入。实际的息票收入只能在时间1领取。0()(1)()tttttPPrFiPrF31应计息票收入可以有两种计算方法：按复利计算（如果期末的利息收入为rF,则期初的本金应为rF/i）按单利近似计算(rF)t=trF()11ttrFrFii32债券的帐面值可按下述三种方法计算：理论方法：按复利精确计算半理论方法：将应计息票收入按单利近似计算实践方法：用单利近似计算0111tttrFPiPii01ttPiPtrF01tPtiPtrF33例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，每年末支付一次利息，期限为3年，到期按面值偿还。市场利率为8%，试计算债券在购买6个月后的价格和帐面值。解：已知：C=F=1000，r=g=6%，n=3，i=8%所以债券在购买日的价格为在购买6个月后的价格为Pt=(1+i)tP0=948.46(1+0.08)0.5=985.67（元）030.081()10001(0.060.08)948.46nPCgiaa34在购买6个月后的帐面值等于价格扣除应计息票收入：理论方法：半理论方法：实践方法：00.51110.061000985.67[(10.08)1]956.250.08tttrFPiPii01985.670.50.061000955.67ttPiPtrF01956.40tPtiPtrF35季度价格帐面值理论方法半理论方法实践方法0948.46948.46948.46948.461966.89952.32951.89952.432985.67956.25955.67956.431005960.25959.82960.374964.34964.34964.34964.345983.07968.50968.07968.6361