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1应用程序应用程序++--tuiqtP弹簧振子心房室压强振荡电路X第五章机械振动(MechanicalOscillation)●振动是自然界中的一种普遍运动形式：一种周期运动→运动具有重复性。2振动的一般概念：一个物理量在某一定值附近作周期性变化，则相应的运动称为振动。如电磁波、交流电等。mo(a)单摆mo(b)扭摆(d)浮体机械振动：物体在平衡位置附近作来回往复地周期运动，简称振动。31.运动的周期（重复）性。2.具有平衡位置，即物体所受合力为零的位置。机械振动的特点物体受有回复力，其与物体的惯性交替作用。机械振动的必备因素机械振动分类●简谐振动；●阻尼振动；●受迫振动。4弹簧振子模型◆任何复杂的振动都是由简谐振动合成的，简谐振动是其他振动的基础。§5-1简谐振动（Simpleharmonicmotion）一、弹簧振子与简谐振动◎弹簧振子的运动是典型的简谐振动。◆简谐振动是一切振动中最基本、最简单的振动形式。意义：轻弹簧+质点m。质点只在弹力的作用下运动。Xofx5简谐振动的特点Xofx受力回复力22dtxdmkxf=−=220dxkxdtm+=2kmω=0222=+xdtxdω令简谐振动的微分方程)cos(ϕω+=tAx简谐振动的位移其解为)sin(ϕωω+−==tAdtdxv2cos()dvaAtdtωωϕ==−+得谐振动定义式ω由系统本身性质决定，与外界无关.6二、简谐振动的周期性212,,2TTTππνωπνω====●x、v、a均为时间的周期函数，其中：2mTkπ=2ω=mk弹簧振子的周期●仅由振子本身的力学性质决定，称固有周期.◆ν和ω分别称固有频率和固有圆频率。7txav◆简谐振动的位移、速度和加速度的周期变化不同步。三、简谐振动的振幅和位相振幅A——质点离开平衡位置的最大位移。x-t,v-t,a-t曲线令ϕ=08●当A、ω一定时，在任一时刻t，振动状态完全取决于量ωt+ϕ。●位相ωt+ϕ在一个周期内经历从0—2π的变化，所以：振动的位相由简谐振动方程可看出：●称ωt+ϕ为位相或周相。(相表示状态)位相的概念和意义●一定的位相对应着一个确定的运动状态。◆在一个周期内，物体所经历的运动状态各不相同，不可能重复。9tAxωcos=sinvAtωω=−2cosaAtωω=−tatxtvT1t2t3t4t同一周期中找不到x，v，a全同的两点。说明同一周期中不存在全同的两个运动状态。举例说明●两个相同的运动状态之间的相位差为2π的整数倍.101.确定任一时刻t物体的振动状态。例：已知t1时刻，ωt1+ϕ=π/2，则可得出.0,,0=−==aAvxω◎t1时刻质点恰过平衡位置，并以速率Aω向负方向运动；关于位相的应用举例2.由位相差确定同一时刻，不同物体的振动状态的差别。111222:,:mtmtωϕωϕ++则位相差)()()()(12121122ϕϕωωϕωϕωϕ−+−=+−+=Δttt设cos()xAtωϕ=+112012,kkϕπΔ==±±，，，()21012,kkϕπΔ=+=±±，，，例如：tx21tx12◆两振动同相。即两运动完全同步。◆两振动反相。♥当♥当122()()210ttϕωϕωϕΔ=+−+0ϕΔtx1（振动2超前于振动1，Δϕ=π/2）12tx（振动2落后于振动1，Δϕ=-π/2）◆振动“2”超前于振动“1”。◆振动“2”落后于振动“1”。♥当♥当13txav)cos(ϕω+=tAxsin()cos()2vAtAtπωωϕωωϕ=−+=++22cos()cos()aAtAtωωϕωωϕπ=−+=++●v比x超前π/2，a比x超前π或a与x反相。x、v、a之间的相位的关系14●t=0时，ωt+ϕ=ϕ。ϕ称为初位相。●振幅A和初位相ϕ可由初始条件决定。000:,,txxvv===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=00arctanxvωϕ00cos,sinxAvAϕωϕ==−2020⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=ωvxA初位相设则所以初位相的基本规律150=ϕAXoXotxXo-AXoAXo2/πϕ=πϕ=2/3πϕ=txπϕ2=txtxtx)2/(π−)0(应用程序16例：一谐振动x0=0.707cm，v0=7.07cm/s，ω=10/s，求初相ϕ。007.07arctan()arctan()100.707vxϕω=−=−×arctan(1)45135ϕ=−=−或解：确定初位相：ϕωsin0Av−=ϕcos0Ax=)315(45−=∴ϕ而v00，17例：确定单摆固有角频率ω及周期T。mlθmgτfsinfmgτθ=−22daldtτθ=22sindmgmldtθθ−=解：重力的切向分量切向加速度所以θ很小，sinθ≈θ，所以22dmgmldtθθ−=220dgdtlθθ+=角谐振动2glTlgωπ==0cos()tθθωϕ=+解力的方向总是与角位移的方向相反。18例：球体半径R，用一轻的细线悬挂，球心至悬挂点距离l，确定球作小角摆动时的周期。222025JJmlmRml=+=+sinMmglθ=−解：球对与球心距离为l的轴的转动惯量球受重力矩θ很小时，sinθ≈θ。由转动定理得22dmglJdtθθ−=220dmgldtJθθ+=()2212/5mglgJlRlω==+22(12/5)2lRlTgπ+=lRoθ19例：如图所示装置，轻弹簧k=50N/m，滑轮M=1kg，半径R=0.2m，物体m=1.5kg。若将物体由平衡位置向上托起0.15m后突然放手，证明物体作简谐振动，并写出振动方程。00mgkx−=()20Tkxx=+解：在平衡位置o处有自此离o点x处时kM1T2Tmo1:mgmTma−=()2121:2TTRRMMα−=220(1/2)dxkxdtmm+=+()aRα=解方程得简谐振动20220000.15mvAxxω⎛⎞=+==⎜⎟⎝⎠0coscos1xAAϕϕ==−∴=−∵，()cosxAtωϕ=+21.26sTπω==0000.15m0txv==−=，，ϕπ=初始条件振动方程()0.15cos5(m)xtπ=+即5rad/s(1/2)kmmω==+21例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运动。忽略水的阻力，且水面高度不因木块运动而变化，证明木块作谐振动。解：以水面为原点建立坐标OX。bmg浮FmaFmg=−浮gblmg2水ρ=glxbF2)(+=水浮ρx任意时刻平衡时X2222()blglbxgmaρρ−+=水水222dtxdmgxl=−水ρ0222=+xmgldtxd水ρ022=+xbgdtxdbg=ω令2220dxxdtω+=（谐振动）gblmg2水ρ=23)cos(ϕω+=tAx作一长度为A、以ω旋转的旋转矢量四、简谐振动的旋转矢量法简谐振动方程tθωϕ=+cos()xAtωϕ=+♥可用该旋转矢量末端的投影点P的运动来表示简谐振动。AϕXYω)(ϕω+tP矢量与x轴的夹角矢量末端投影点的坐标为应用程序A24旋转矢量法的应用1.确定初位相●由初始位置x0确定旋转矢量两个可能的位置。（特殊情况下只有一个位置）●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位置中确定初始位置，从而找出初相.ωxOA25ωxO)(a(d)已知t=0，x=-A/2，且向x轴正方向运动。ϕAAωxO)(bAϕϕAωxO)(d例：(a)已知t=0时，x=-A。(b)已知t=0时，x=0，且向x轴正方向运动。(c)已知t=0，x=-A/2，且向x轴负方向运动。ϕ=π。ϕ=3π/2。ϕ=2π/3。ϕ=4π/3。ϕO)(cωx26例：已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写出振动方程。(s)t1(cm)x121−2−0cm2=A000,0;2Atxv==−，10,0;txv==，2.确定振动方程3/2πϕ−=6/7πω=722cos()(cm)63xtππ=−解：从图中可知oϕtω1=t/2Ax0=t1,7/6ttωωπ===27()222211sin22KEmvmAtωωϕ==+()22211cos22PEkxkAtωϕ==+2221122KPEEEmAkAω=+==五、简谐振动的能量振动动能振动势能振动总能()2221cos2mAtωωϕ=+28)21(21~0222AmkAω讨论tEEPEK●振动动能和势能均随时间作周期性变化，周期均为T/2，取值范围●振动总能量不随时间变化。●动能与势能的位相相反，动能最大时，势能为零；势能最大时，动能为零。29221122mvkxE+=0dvdxmvkxdtdt+=220dxmvkxvdt+=220dxkxdtm+=◎若某振动系统的机械能守恒，则该运动必为简谐振动。E=const等式两边对t求导即30解：取物体的平衡位置为原点o，则例：轻弹簧下端挂一重物时伸长l=9.8cm。若给物体一向下的瞬时冲力，使它具有1m/s的向下速度，它就上下振动起来。试证明物体作简谐振动，并写出振动方程式。0mgkl−=Xokmm0v当物体运动至某点x时，有()22dxmgkxlmdt−+=220dxkxdtm+=物体作简谐振动。课堂练习即31100001mstxv−===⋅：，22200(/)0(1/10)0.1mAxvω=+=+=20101tan00πϕωϕ±=⇒±∞=×−=−=xv20sin0sin0πϕϕϕω−=⇒⇒−=Av0.1cos10m2xtπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠初始条件：振动方程为1//10(rads)kmglω−===⋅()cosxAtωϕ=+