高斯光束特性分析及其应用

第４３卷　第１期２０１９年１月激　　光　　技　　术ＬＡＳＥＲＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．４３，Ｎｏ．１Ｊａｎｕａｒｙ，２０１９　　文章编号：１００１３８０６（２０１９）０１０１４２０５高斯光束特性分析及其应用叶大华（西南技术物理研究所，成都６１００４１）摘要：为了在实际应用过程中更好地理解和应用高斯光束的特性，采用理论计算公式推导了桶中功率、到靶功率密度、亮度的公式，对几种特殊情况的归一化参量进行了计算和对比，并对实际使用中容易产生混淆的问题进行了分析。结果表明，该研究对于激光系统的设计和使用具有一定的参考价值。关键词：激光物理；高斯光束；桶中功率；到靶功率密度；亮度中图分类号：ＴＮ２４１　　　文献标志码：Ａ　　　ｄｏｉ：１０７５１０／ｊｇｊｓｉｓｓｎ１００１３８０６２０１９０１０２８ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＹＥＤａｈｕａ（ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００４１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｂｅｔｔｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｔｏｅｘｔｅｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍｓ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍ，ｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓｆｏｒｐｏｗｅｒｉｎｂｕｃｋｅｔ，ｐｏｗｅｒｄｅｎｓｉｔｙｏｎｔｈｅｔａｒｇｅｔａｎｄｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓｗｅｒｅｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｃｏｍｐａｒｅｄｆｏｒｓｏｍｅｓｐｅｃｉｆｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｖａｒｉｏｕｓｑｕｅｓｔｉｏｎｓｉｎｔｅｎｄｉｎｇｔｏｂｅｍｉｘｅｄｉｎａｃｔｕａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｈｅｌｐｆｕｌｆｏｒｔｈｅｄｅｓｉｇｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｌａｓｅｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌａｓｅｒｐｈｙｓｉｃｓ；Ｇａｕｓｓｉａｎｂｅａｍ；ｐｏｗｅｒｉｎｂｕｃｋｅｔ；ｐｏｗｅｒｄｅｎｓｉｔｙｏｎｔｈｅｔａｒｇｅｔ；ｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓ　　作者简介：叶大华（１９６８），男，研究员，主要从事激光技术的研究。Ｅｍａｉｌ：[e-mail]收稿日期：２０１７０８０８；收到修改稿日期：２０１７１０２７引　言稳定激光腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分布也接近高斯分布［１］。高能激光大都采用非稳腔结构，因此研究高斯光束的特性对激光谐振腔和激光系统的设计和实际使用都具有十分重要的意义。针对高斯光束，目前的研究主要侧重于其传输特性［１－５］。参考文献［１］中分析了完全相干和非相干平顶高斯光束的传输特性。参考文献［３］中分析了近海面大气湍流中的光斑扩展半径的影响因素。参考文献［４］中分析了扩束系统参量对高斯光束传输特性的影响。参考文献［５］中分析了高斯光束光谱经自由空间和湍流大气传输的特性。另外，参考文献［６］中分析了高斯光束合成的相对峰值强度和光束质量随合成光束的束数与间距的影响。而在工程实践中，需要了解高斯光束的基本特性。在研究激光与物质相互作用的过程中，更关心激光束的桶中功率、到靶功率密度、亮度等强度特性参量。本文中对上述参量进行了公式推导。并推导了损伤阈值的公式，对实际设计过程中光学口径的要求提出了建议。同时，对教科书与国际标准不一致的概念做了说明，对实际使用容易产生混淆的几个问题进行了分析。１　高斯光束的特征１．１　高斯光束的基本性质根据定义，高斯光束是指光束横截面的电场振幅或者光强分布是高斯函数的光束，如图１所示。图中，ｗ０为光束束腰半径；θ为光束的远场发散角；λ为激光波长；ｗ（ｚ）为电场振幅为轴上幅值的１／ｅ时的半径，　　Ｆｉｇ１　ＣｏｎｔｏｕｒｏｆａＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍｎｅａｒｚ＝０ｉｎｔｈｅｖｉｃｉｎｉｔｙｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｃａｌｒｅｇｉｏｎｂ＝２ｚＲ第４３卷　第１期叶大华　高斯光束特性分析及其应用　称为光斑尺寸；Ｒ（ｚ）为与激光传播轴线相交于ｚ点的基模高斯光束等相位面的曲率半径。高斯光束的电场振幅为：Ｅ（ｒ）＝Ｅ０ｅｘｐ［－（ｒ／ｗ）２］（１）式中，ｒ为光束横截面内离光轴的距离；ｗ为电场振幅为轴上幅值的１／ｅ时的半径，称为光斑尺寸，２ｗ称为光斑直径。那么强度公式为：Ｉ（ｒ）＝Ｉ０ｅｘｐ（－２（ｒ／ｗ）２）（２）　　高斯光束传输时，每个横截面的强度分布仍然是高斯函数，但是沿着光轴方向强度轮廓的宽度发生变化。在束腰位置宽度最小，直径为２ｗ０，此时的波前为平面波。光斑尺寸沿着光轴变化的规律如下：ｗ（ｚ）＝ｗ０１＋（ｚ／ｚＲ）槡２（３）式中，ｚ为离束腰的距离；ｚＲ称为瑞利长度。ｚＲ＝πｗ０２／λ（４）　　在瑞利长度处，光斑面积为束腰面积的２倍，即：ｗ（ｚＲ）＝槡２ｗ０（５）　　２倍瑞利长度ｂ称为共焦参量（值得注意的是，国外书籍如参考文献［７］、参考文献［８］中如此定义，国内书籍如参考文献［１］、参考文献［９］中定义与瑞利长度为同一参量）。ｂ＝２ｚＲ＝２πｗ０２λ（６）　　在离束腰瑞利长度范围内，可以认为光束是准直的。双曲线的渐近线与光轴夹角为θ／２。基模高斯光束的远场发散角θ为：θ＝ｌｉｍｚ→∞２ｗ（ｚ）ｚ＝ｌｉｍｚ→∞２ｗ０１＋ｚπｗ０２()λ－[]槡１２ｚ＝２λπｗ０（７）即θ＝２λ／（πｗ０）。说明：国家标准［１０］规定发散角是指全角（与ＩＳＯ标准一致），参考文献［７］和参考文献［８］符合该规定，国内如参考文献［１］、参考文献［９］、参考文献［１１］中指的是半角，所以系数不同，使用中不要产生混淆。１．２　桶中功率比Ｐ（ｒ）／Ｐｔ在半径ｒ范围内的桶中功率为Ｐ（ｒ），那么：Ｐ（ｒ）＝∫０ｒ２πｔＩ（ｔ）ｄｔ＝∫０ｒ２πｔＩ０ｅｘｐ－２ｔ()ｗ[]２ｄｔ＝－π２ｗ２Ｉ０∫－２ｒ()ｗ２０ｅｘｄｘ＝π２ｗ２Ｉ０１－ｅｘｐ－２ｒ()ｗ[]{}２（８）　　那么，总功率Ｐｔ为：Ｐｔ＝ｌｉｍｒ→∞π２ｗ２Ｉ０×｛１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］｝＝π２ｗ２Ｉ０（９）　　上式说明，高斯光束的总功率Ｐｔ等于束腰处的面积与最大光强的积的一半。那么，在半径ｒ内的桶中功率与总功率之比为：Ｐ（ｒ）Ｐｔ＝π２ｗ２Ｉ０｛１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］｝π２ｗ２Ｉ０＝１－ｅｘｐ－２ｒ()ｗ[]２（１０）　　在实际工程应用中，光学口径不可能无限大。从图２中桶中功率与总功率比值可以看出，在ｒ／ｗ≥１．５之后，几乎包含了所有的功率，所以在设计光学系统时，其有效口径Ｄ≈３ｗ即可。实际使用时，由于体积重量的限制，也有Ｄ／ｗ＝２．６～３的情况，功率损失为４．４％～１．１％。在功率损失较大时，应充分考虑机械和光学零部件的冷却和热应力对光学质量的影响。Ｆｉｇ２　Ｒａｔｉｏｏｆｐｏｗｅｒｉｎｔｈｅｂｕｃｋｅｔｔｏｔｏｔａｌｐｏｗｅｒ１．３　功率密度Ｐｄ（ｒ）在ｒ内的功率密度Ｐｄ（ｒ）为：Ｐｄ（ｒ）＝Ｐ（ｒ）πｒ２＝π２ｗ２Ｉ０｛１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］｝πｒ２＝Ｉ０２１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（ｒ／ｗ）２（１１）　　尽管在ｗ内的功率为总功率的８６．５％，此处定义“平均功率密度Ｐｄ”为总功率与束腰面积之比，以下会得出巧妙的结论。Ｐｄ＝Ｐｔπｗ２＝π２ｗ２Ｉ０πｗ２＝Ｉ０２（１２）３４１　激　　光　　技　　术２０１９年１月　　在ｒ内的功率密度与平均功率密度的比值为：Ｐｄ（ｒ）Ｐｄ＝Ｉ０２１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（ｒ／ｗ）２Ｉ０／２＝１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（ｒ／ｗ）２（１３）　　图３为ｒ内功率密度与平均功率密度比值示意图。Ｆｉｇ３　Ｒａｔｉｏｏｆｐｏｗｅｒｄｅｎｓｉｔｙｔｏａｖｅｒａｇｅｐｏｗｅｒｄｅｎｓｉｔｙ　　　ｌｉｍ（ｒ／ｗ）→０Ｐｄ（ｒ）Ｐｄ＝１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（ｒ／ｗ）２＝２（１４）也就是说，在轴上点的功率密度最强，恰好是Ｐｄ的２倍，这对于设计光学系统时计算光学零件的损伤阈值是很有价值的。另外，对光学零件损伤阈值的验收也十分有用。比如美国就是按照这个条件进行光学零件激光损伤阈值的合格检验的［１２］。１．４　参量比较由于不同标准或者不同使用条件下，ｒ内含功率条件定义的发散角不同，下面对电场振幅、光强、桶中功率比等参量的比较公式进行推导，并列出几种特殊条件下的具体计算结果。发散角比较：Ｅ（ｒ）Ｅ０＝ｅｘｐ［－（ｒ／ｗ）２］（１５）　　所以，对于ｒ１和ｒ２有：ｌｎＥ（ｒ１）Ｅ[]０／ｌｎＥ（ｒ２）Ｅ[]槡０＝ｒ１ｒ２＝θ１θ２（１６）　　幅值比较：Ｅ（ｒ１）Ｅ（ｒ２）＝ｅｘｐ［（ｒ２／ｗ）２－（ｒ１／ｗ）２］（１７）　　强度比较：Ｉ（ｒ）Ｉ０＝ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（１８）　　那么，对于ｒ１与ｒ２则有：Ｉ（ｒ１）Ｉ（ｒ２）＝ｅｘｐ｛２［（ｒ２／ｗ）２－（ｒ１／ｗ）２］｝（１９）　　桶中功率比较：Ｐ（ｒ）Ｐｔ＝１－ｅｘｐ［－２（ｒ／ｗ）２］（２０）　　则：Ｐ（ｒ１）Ｐ（ｒ２）＝１－ｅｘｐ［－２（ｒ１／ｗ）２］１－ｅｘｐ［－２（ｒ２／ｗ）２］（２１）　　振幅为最大振幅的０．５和１／ｅ时的发散角是工程实践中最常见的两种情况。分别以下标０．５，ｅ和ｒ０．５表示Ｅｒ／Ｅ０分别为０．５，ｅ－１，ｅ－０．５２，即ｒ／ｗ为槡ｌｎ２，１，０．５的情况，根据以上推导公式计算的结果示于表１中，方便工程应用中相互转换。Ｔａｂｌｅ１　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒｓｐａｒａｍｅｔｅｒｒ／ｗＥｒ／Ｅ０Ｉｒ／Ｉ０Ｐ（ｒ）／Ｐｔｒ０．５０．５７７．８８％６０．６５％３９．３５％０．５槡ｌｎ２＝０．８３３５０．００％２５．００％７５．００％ｅ１１／ｅ＝３６．７９％１／ｅ２＝１３．５３％８６．４７％Ｘ０．５／Ｘｅ０．８３３１．３５９１．８４７０．８６７Ｘｅ／Ｘ０．５１．２０１０．７３６０．５４１１．１５３Ｘｒ０．５／Ｘｅ０．５２．１１７４．４８２０．４５５Ｘｅ／Ｘｒ０．５２０．４７２０．２２３２．１９８Ｘ０．５／Ｘｒ０．５１．６６５０．６４２０．４１２１．９０６Ｘｒ０．５／Ｘ０．５０．６０１１．５５８２．４２６０．５２５　　表１中，“Ｘｙｙ”，Ｘ代表ｒ／ｗ，Ｅｒ／Ｅ０，Ｉｒ／Ｉ０，Ｐ（ｒ）／Ｐｔ相应的参量，下标ｙｙ代表ｒ／ｗ为槡ｌｎ２，１，０．５的情况；发散角θ与ｒ／ｗ成正比，所以表中θ的比值和ｒ／ｗ的比值相同；特别注意不要把ＥｒＥ０＝０．５和ｒ／ｗ＝０．５的情形混淆。１．５　θ０．５，θｅ，ＢＰＰ相互关系工程实践中，电场振幅为最大振幅的０．５和１／ｅ时的发散角（指全角，见参考文献［１０］）θ０．５，θｅ和光束参量积（ｂｅａｍｐａｒａｍｅｔｅｒｐｒｏｄｕｃｔ，ＢＰＰ）ｐＢＰＰ是常用的几个光束质量的定义，计算功率密度和亮度时常需要相互转换，这里特别说明一下相互关系，方便使用。根据定义：ｐＢＰＰ＝ｗ０θ０ｐＢＰＰ＝ｄｅ２θｅ２＝ｄｅθｅ{４（２２）θｅ＝４ｐＢＰＰｄｅ（２３）式中，ｄｅ是电场振幅为最大值时的１／ｅ对应的直径。根据（１６）式可得：４４１第４３卷　第１期叶大华　高斯光束特性分析及其应用　θ０．５θｅ＝ｌｎ０．５／ｌｎｅ槡－１槡＝ｌｎ２（２４）θ０．５槡＝４ｌｎ２ｐＢＰＰｄｅ＝３．３３ｐＢＰＰｄｅ（２５）１．６　常见错误分析在技术交流过程中，发现有如下推导：θ０．５槡＝２ｌｎ２θ０＝１．１８θｅ２＝２．３６ｐＢＰＰｄｅ（２６）　　这其实是错误的，错误的本质在于采用了不同的表达式，概念产生了混淆。分析如下：（１）如果按标准正态分布公式Ｅ（ｒ）／Ｅ０＝ｅｘｐ［－（ｒｗ－１）２／２］计算，尽管当幅值比为０．５时，ｒ／ｗ０＝槡２ｌｎ２；但是当幅值比为１／ｅ时，ｒｅ／ｗ０槡＝２，而不再是高斯光束定义的等于１，它们之间的比值仍然为槡ｌｎ２，而不是槡２ｌｎ２。（２）如果按高斯分布公式Ｅ（ｒ）／Ｅ０＝ｅｘｐ［－（ｒ／ｗ）２］计算，尽管当幅值比为１／ｅ时，ｒｅ／