双曲线知识点及题型总结(学生版)

1双曲线知识点及题型总结1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆双曲线定义：①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a＞0，b＞0）.这里222acb，其中|1F2F|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22ax－22by=1（a＞0，b＞0）⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为12222byax渐近线方程02222byaxxaby②若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax③若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）④特别地当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；y=abx，y=－abx(什么是共轭双曲线?)⑸准线：l1：x=－ca2，l2：x=ca2，两准线之距为2122aKKcM2M1PK2K1A1A2F2F1oyx2⑹焦半径：21()aPFexexac，（点P在双曲线的右支上xa）；22()aPFexexac，（点P在双曲线的右支上xa）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑺与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0(新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑻与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax6曲线的内外部(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.9线与椭圆相交的弦长公式221212()()ABxxyy若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB]4)[()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；3高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的()A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F1、F2是双曲线162x－202y=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._________.4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x－92y=1的渐近线方程是()A.y=±23xB.y=±32xC.y=±49xD.y=±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A.22y－42x=1B.42x－22y=1C.42y－22x=1D.22x－42y=1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．43B．53C．２D．732.已知21,FF是双曲线)0(,12222babyax的左、右焦点,过1F且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若2ABF是正三角形,那么双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.33.过双曲线M:2221yxb的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A.10B.5C.103D.5244.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为()A.22B.2C.2D.225..已知双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P是双曲线22ax－92y=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于()A.1或5B.6C.7D.92.已知双曲线141222yx的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33,33)B.(-3,3)C.[33,33]D.[-3,3]3.已知圆C过双曲线92x－162y=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x2+2y2=8的两焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任一点。AP是⊿AF1F2的外角平分线，且PFAP2=0.则点P的轨迹方程是.2.双曲线x2－y2=4的两焦点分别为F1、F2，A为双曲线上任一点。AP是∠F1AF2的平分线，且PFAP2=0.则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分3求与圆1)3(22yx及9)3(22yx都外切的动圆圆心的轨迹方程奎屯王新敞新疆5高考例题1.已知21,FF是双曲线1222yx的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过2F,且倾斜角为,则PQQFPF11的值为()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆24B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆8C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆22D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆随的大小变化2.过双曲线02222yx的右焦点作直线l交曲线于A、B两点,若4AB则这样的直线存在()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆0条B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1条C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2条D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3条3.新疆源头学子小屋