【优化方案】2012高中数学_第1章1.1.2余弦定理课件_新人教A版必修5

1．1.2余弦定理学习目标1.了解向量法证明余弦定理的推导过程．2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题．课堂互动讲练知能优化训练1.1.2余弦定理课前自主学案课前自主学案温故夯基1．在Rt△ABC中，C＝90°，三边满足勾股定理___________.2．在△ABC中，正弦定理是______＝______＝______a2＋b2＝c2余弦定理及推论知新盖能1．你能用坐标法证明余弦定理吗？思考感悟提示：建立如图所示的坐标系，则A(0，0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．由两点间距离公式得：BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.2．余弦定理和勾股定理有何关系？提示：勾股定理是余弦定理的特例，对于a2＝b2＋c2－2bc·cosA，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.课堂互动讲练考点突破已知两边及一角解三角形已知三角形的两边与一角求第三边，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a.例1【思路点拨】可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.【解】法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝33×12＝332知本题有两解，由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.互动探究1若将本例中“c＝33”改为“c＝23”，“B＝30°”改为“A＝30°”，应如何求解三角形？解：直接运用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，从而a＝3，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝612＝12.∵BC，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.已知三边解三角形已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角，进而求出第三个角．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.例2【思路点拨】在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大，然后根据已知三边可用余弦定理求三角．【解】∵a＞c＞b，∴A为最大角．由余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.∴sinA＝32.由正弦定理，得sinC＝casinA＝57×32＝5314.判断三角形的形状判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．【思路点拨】利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关系．例3【解】由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得：a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac－c·a2＋b2－c22ab＝0.通分整理得：a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．【名师点评】判断三角形的形状时，如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，那么要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，那么大多情况用正弦定理；若是以上特征均不明显，则要考虑两个定理综合应用．互动探究2本题条件变为bcosA＝acosB，试判断△ABC的形状．解：∵cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，则代入已知条件得：b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac.∴b2＋c2－a2－a2－c2＋b22c＝0.则2b2＝2a2，∴b＝a.∴该三角形为等腰三角形．1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量：(1)已知两边与它们的夹角，可以求得第三边；(2)已知两边与其中一边的对角，可以代入余弦定理，看成关于另一边的二次方程，从而解得另一边；(3)已知三角形的三边可以求得三角形的三个角．从这里可以看出，利用余弦定理解三角形时，条件中必须至少知道两边．方法感悟2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．