5材料力学 第五章 弯曲应力

(StressesinBeams)(StressesinBeams)Chapter5StressesinbeamsMechanicsofMaterials(StressesinBeams)(StressesinBeams)§§55––11引言引言(Introduction)(Introduction)§§55––22纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)(Normalstressesinpurebeams)§§55––33横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal(Normalstressesintransversebending)stressesintransversebending)§§55––44梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)stressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力(Stressesinbeams)第五章第五章弯曲应力弯曲应力(Stressesinbeams)(Stressesinbeams)§§55––55提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（（MeasuresMeasurestostrengthenthestrengthofbeams)tostrengthenthestrengthofbeams)(StressesinBeams)(StressesinBeams)mmFFSSM一一、、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力(Stressesinflexuralmembers)(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,,一般情况下一般情况下,,梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM,,又有剪力又有剪力FFSS..§§55––11引言引言(Introduction)(Introduction)mmFFSSmmM弯矩弯矩MM正应力正应力只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素ddFFNN==ddAA才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力FFSS切应力切应力内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素ddFFSS==ddAA才能合成才能合成剪力剪力所以所以,,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力(Normalstresses)(Normalstresses),,又有又有切应力切应力(Shearstresses)(Shearstresses)(StressesinBeams)(StressesinBeams)二、分析方法二、分析方法(Analysismethod)(Analysismethod)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面纯弯曲梁纯弯曲梁((横截面上只有横截面上只有MM而无而无FFSS的情况的情况))平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面横力横力弯曲弯曲横截面上既有横截面上既有FFSS又有又有MM的情况的情况简支梁简支梁CDCD段任一横截面上段任一横截面上,,剪力等剪力等于零于零,,而弯矩为常量而弯矩为常量,,所以该段梁的弯所以该段梁的弯曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲(Purebending).(Purebending).若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩为常量为常量,,剪力为零剪力为零,,则该段梁的弯曲就则该段梁的弯曲就称为称为纯弯曲纯弯曲(Purebending)(Purebending)..三、纯弯曲三、纯弯曲（（Purebending)Purebending)FFaaCD++FF+F.a图5-1AB(StressesinBeams)(StressesinBeams)asshowninFig5asshowninFig5--11ThecentralregionofthisThecentralregionofthisbeamhasnobeamhasnoshearforceshearforce（剪力（剪力））andissubjectedtoandissubjectedtoaconstantaconstantbendingmomentbendingmoment（弯矩）（弯矩）equaltoequaltoF.a.F.a.ThisconditionofconstantbendingThisconditionofconstantbendingmomentiscalledmomentiscalledpurebendingpurebending（纯弯曲）（纯弯曲）PureBendingPureBending（纯弯曲）（纯弯曲）FFaaCDAB+-FFFSBeamwithcentralregioninpurebendingFig5-1+F.aM(StressesinBeams)(StressesinBeams)deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationshipExaminethedeformationExaminethedeformation，，thenproposethehypothesisthenproposethehypothesisDistributionregularityDistributionregularityofdeformationofdeformationDistributionregularityDistributionregularityofstressofstressEstablishtheformulaEstablishtheformula变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系观察变形，观察变形，提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship§§55––22纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)(Normalstressesinpurebeams)(StressesinBeams)(StressesinBeams)一、实验一、实验（（ExperimentExperiment））11、变形现象、变形现象（（Deformationphenomenon)Deformationphenomenon)纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度相对转过了一个角度,,仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线(StressesinBeams)(StressesinBeams)22、提出假设、提出假设(Assumptions(Assumptions））(a)(a)平面假设平面假设变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)(b)单向受力假设单向受力假设纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压,,只受单向拉压只受单向拉压推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维————中性层中性层（（NeutralsurfaceNeutralsurface））中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴⊥⊥中性层中性层(StressesinBeams)(StressesinBeams)观察变形观察变形提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式实实验验平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴(StressesinBeams)(StressesinBeams)dx图（图（bb））yzxo应变分布规律应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（图（aa））dx二、变形几何关系二、变形几何关系（（DeformationgeometricrelationDeformationgeometricrelation））图（图（cc））dyρzyxo’o’b’b’ybboo''bbdyxbbdoo''oodyyddd)((StressesinBeams)(StressesinBeams)三、物理关系三、物理关系((Physicalrelationship)Physicalrelationship)所以所以HookeHooke’’sLawsLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比成正比应力分布规律应力分布规律??待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径ρρ????EyE(StressesinBeams)(StressesinBeams)观察变形观察变形提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式实实验验平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴y(StressesinBeams)(StressesinBeams)yzxOMddAAzyσσddAA四、静力关系四、静力关系(Staticrelationship(Staticrelationship））横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径中性层的曲率半径ρρ中性轴的位置中性轴的位置待解决问题待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得dAdAdAzyAAAFddNNFyMzMAAyAzMddAAzAyMdd0(1)(1)0(2)(2)M(3)(3)NdFyMdzMd(StressesinBeams)(StressesinBeams)将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzSdAyyz梁的长度方向梁的横截面(StressesinBeams)(StressesinBeams)将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)式，得式，得自然满足自然满足0dAyzEMAy0dAAyzE0dAAyzyzIdAyyz梁的长度方向梁的横截面(StressesinBeams)(StressesinBeams)将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)式，得式，得zIEM1MAyyEMAzdMIEzMAyEAd2dAyyz梁的长度方向梁的横截面(StressesinBeams)(StressesinBeams)观察变形观察变形提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式实实验验平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心EIEIzz称为抗弯刚度称为抗弯刚度(Flexuralrigidity)(Flexuralrigidity)zEIM1yEyzIMy(Stresses