第四章 根轨迹分析法

3.5某控制系统的方块图如图3-34。3、求解在这个Kc（Kc＝1.43）下，系统过渡过程的峰值时间和稳态误差。1、当调节器增益Kc=1,且系统的输入为单位阶跃干扰，试求系统的输出响应。7.0)(lim)(86.222)()()()()()()(02ssEesssFsEsYsFsYsRsEs第四章根轨迹分析法系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。l研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计调节器（设计问题）。l研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性之间的定性、定量关系（分析问题）；l根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平面的位置（设计问题）；伊凡思(W.R.Evans)创立根轨迹法（1948）－几何图解求解特征根l系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。l可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。l可用于单变量系统和多变量系统。l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控制系统。本章主要内容以K为变量的常规根轨迹的绘制方法以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法根轨迹分析方法的应用－利用根轨迹分析和设计控制系统4.1根轨迹的概念定义：根轨迹—系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。1根轨迹举例例4-1二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。－)1s(s1K开环传递函数：)1()()(ssKsHsG分析：有2个开环极点,1p,0p21没有开环零点。闭环特征方程0,0)()(12KsssHsG求出2个闭环特征根：K415.05.0s2,1（4-1-1）闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：KssKsHsGsG2)()(1)(K取不同值：（等于两个开环极点）,0KImRe0(两根重合于－0.5处),41K（即0≤K≤1/4，两根为实根）,25.00:K××﹣1﹣0.5(两根为共轭复数根，其实部为－0.5),41K●K415.05.0s2,1●)1()()(ssKsHsG,1,021ss,5.0,5.021ss145.05.02,1Kjs)Im(,5.0)Re(,2,12,1ssK5.01:,5.00:21ss总结：有两个闭环极点，有2条根轨迹。根轨迹是从开环极点出发点。通过选择增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上。如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。ImRe0××﹣1﹣0.5●●)1()()(ssKsHsG这是个？阶系统，2根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。－)1s(s1K例4-223235.0对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数ζ=0.5，确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。解：阻尼角θ计算如下：,312tg60js2,121nn235.0j×ImRe0×﹣1﹣0.5●jKjs145.05.02,1阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可以计算出来。与（4-1-1）式比较得：,314K即K=1。145.05.02,1Kjs（4-1-1）获得系统的根轨迹有两个方法：图解法：利用Evans总结的规律画出根轨迹。－近似、简单，尤其适合高阶系统解析法：对闭环特征方程解析求解，逐点描绘。－精确，工作量大23235.0×ImRe0×﹣1﹣0.5●232,15.0js4.2根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图:G(s)H(s)－其开环传递函数：（4-2-1）)()(sbsaK)())(()())((2121nmpspspszszszsKniimiipszsK11)()()()(sHsG其中：K:开环增益mizi,2,1,—开环零点—开环极点mnnipi,,2,1,×闭环传递函数：)()(1)(sHsGsG闭环特征方程为：1)()(,0)()(1sHsGsHsG即jsHsGjMeesHsGsHsG)()()()()()(1)()(sHsG它们满足：1)()(sHsG,2,1,0k,10180)12(kG(s)H(s)－G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：))()((11niimiipszsKniimiipszsK11)()(K1miiniizspsK11)()(1-1φniimiipszsKsHsG11)()()()(绘制根轨迹必须满足的基本条件：（相角公式：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）)]()()([)]()()([2121nmpspspszszszs幅值条件mnzszszspspspsK2121相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）011180)12())()((kpszsKniimiimiiniizspsK11)()(,2,1,0k0180)12(k注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹。2.观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。画法：1.利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。2.确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。相角条件)]()()([)]()()([2121nmpspspszszszs幅值条件mnzszszspspspsK2121,2,1,0k0180)12(k例4-3某系统开环传递函数))(()()()(211pspszsKsHsG分析：在s平面上，○表示开环零点，×表示开环极点。2个开环极点p1和p2。设s是系统的一个闭环特征根，相角条件：,2,1,0180)12(0211kkppz可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:121zspspsk○××●1z1p2ps则它必须满足：一个开环零点z1，2、绘制根轨迹的基本规则例4-4)2)(1()5()()(ssssKsHsG要求画出根轨迹。某单位反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，,51z0●-5×××-2-10,01p,12p23p规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。)()(1sHsG闭环特征方程0)2)(1()5(1ssssK0)5()2)(1(sKsss闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次=开环极点数例中，,3)2)(1()5()()(阶ssssKsHsG规则二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是K从0→∞时的根变化轨迹，因此必须起于K=0处，止于K=∞处。观察幅值条件：mnzszszspspspsK2121nipsKi...2,1,0必有如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。mizsKi,...2,1,必有)2)(1()5()()(ssssKsHsG规则三、根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。证明：（1）连续性从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。证明：（2）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。Ks415.05.02,1例：*规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。例如系统的开环零、极点分布如图。×××●××0﹣1﹣2﹣5454P5P0S要判断和之间的线段是否存在根轨迹，取实验点3p1z,0S开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零，相角条件由其右边的零极点决定。●奇数个π，无论如何加减组合，总能使（2k＋1)π(k=0,±1,±2,…)成立。相角条件)]()()()()([)(543211pspspspspszs,2,1,0k0180)12(k对于例题，在实轴上的根轨迹：×××●0﹣1﹣2﹣5一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。)2)(1()5()()(ssssKsHsG规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。渐近线与实轴的夹角为：,..2,1,0180)12(0kmnk渐近线与实轴的交点为：mnzpnimjji11l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、证明：见图4-5。●对于位于根轨迹上某一动点s0，●从各开环零极点到这一点的向量的相角随s0轨迹的变化而变化，●当s0到达无穷远处，各相角相等，令其为Φ，可写成：180)12(knm●进而求出渐近线夹角：,...2,1,0,180)12(kmnk图4－5×××●××●0﹣1﹣2﹣5454P5P0S×由对称性知，渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标mnzpnimjji11对例4-4，mnk180)12(),1,0(2180)12(kk,900)270(9000交点坐标为：,12)5(21即（1，j0）。渐近线与实轴夹角为：)2)(1()5()()(ssssKsHsG1×0××●﹣1﹣2﹣5规则六、当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入(离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。性质:(重点讨论实轴上的分离点）在此点上必出现重根。利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻开环极点间时，必有一分离点。若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点。根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。××K=0K=0K=∞K=∞分离点分离点根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式的解。分离角l是重根数。0dsdk2,1,0/klk由求极值的公式求出：它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)0)()(1)()(1sasbKsGsH在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s值:0)()(')()()('2sbsbsasbsadsdK0)(')()()('sbsasbsa注意：求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。)()(sbsaK在例题4-4中，)2)(1()5()()(ssssKsHsG)5()2)(1(ssssK52323ssssdsdK0103018223sss02232)5()23()5)(263(sssssss223)5(1030182ssss解出：94.6,