轴心受压构件的弯曲屈曲

重庆大学土木工程学院结构稳定理论主讲：程睿E-mail:[e-mail]§2轴心受压构件的弯曲屈曲第二章轴心受压构件的弯曲屈曲§2.1概述§2.2轴心受压构件的弹性弯曲屈曲§2.3轴心受压构件的大挠度弹性理论§2.4轴心受压构件的非弹性屈曲§2.5初始缺陷对轴心受压构件的影响§2轴心受压构件的弯曲屈曲§2.1概述轴心受压构件的失稳形式弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。双轴对称截面扭转失稳：扭转变形迅速增大而丧失承载力。十字形截面弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。单轴对称截面，无对称轴截面弯曲屈曲是确定轴心受压构件稳定承载力的主要依据。§2轴心受压构件的弯曲屈曲荷载位移曲线1-小挠度理论(弹性)2-大挠度理论(弹性)3-有初弯曲时(弹性)4-有初偏心时(弹性)3’-有初弯曲时(弹塑性)4’-有初偏心时(弹塑性)§2轴心受压构件的弯曲屈曲§2.2轴心受压构件的弹性弯曲屈曲1）理想轴心压杆的欧拉临界力基本假定：（1）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；（2）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；（3）材料具有线弹性，符合虎克定律；（4）符合平截面假定；（5）小变形假定：弯曲曲率：yyy/232])(1[§2轴心受压构件的弯曲屈曲按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程：杆件处于临界状态时，内外弯矩相等，即令，得：此常系数二阶齐次微分方程的通解：A,B为待定系数，由边界条件确定。yEIMiPyMePyyEI2kEIP02ykykxBkxAycossin§2轴心受压构件的弯曲屈曲由边界条件得：（1）则（2）由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：kxAyByxsin,0000sin0klAylx0A0sinkllmk2lmEIP222mcr,lEImPlxmAysin（m=1，2，3，……），即§2轴心受压构件的弯曲屈曲临界力和屈曲形式221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxmAysin§2轴心受压构件的弯曲屈曲挠曲线当m=1时P最小，对应的挠曲线方程为，为正弦曲线的一个半波；当x=l/2时，y=v0，A即为跨中最大挠度v0，故有。杆件可在任意v0值的弯曲状态下保持平衡。lxvysin0crP轴向压力横向挠度Av0lxAysinv0为不定值，在小变形假设的前提下，§2轴心受压构件的弯曲屈曲2）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程）对于两端为任意支承情况时，由脱离体的平衡得：对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力：令，得此微分方程与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，称压杆屈曲的高阶微分方程。VzMPyyEIA0yPyEI2kEIPlMMVBAPPPP02yky§2轴心受压构件的弯曲屈曲方程的通解为：其各阶导数为：A,B,C,D为待定系数，由边界条件确定。各支承情况的边界条件：铰支：固支：自由端：DCzkzBkzAycossinCkzBkkzAkysincoskzBkkzAkycossin22)(sincos233CykkzBkkzAky0,00,00,02ykyyyyyy§2轴心受压构件的弯曲屈曲两端固定的轴心压杆边界条件：线性齐次方程组：为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。0',0,0',000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDClklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk§2轴心受压构件的弯曲屈曲则由此得或（1）求解第一式临界力：（2）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）在坐标系中分别画出曲线和，其交点即为方程的解。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl22tan02sinklklkl)3,2,1(422222mcr,mlEImPEIPlmkmkl2tankly2kly22cr4lEIP§2轴心受压构件的弯曲屈曲取相交点的最小值，得即结合上述两式的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：使方程有非0解，满足=0的k值称为特征值，因此解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。与k值对应的y(x)为特征函数或特征向量，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。=0为特征方程，因Pcr由=0求得，故又称为屈曲方程。2222cr2/4lEIlEIP22cr)2/(045.243.12lEIPkl§2轴心受压构件的弯曲屈曲一端铰接、一端固定的轴心压杆边界条件：线性齐次方程组：为使关于A、C的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。0,0,0',000lxlxxxyyyy0cos0sin0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDB01cossinklklkl力学边界几何边界§2轴心受压构件的弯曲屈曲展开得即上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：（最小特征根）即klklklklkltan0cossinEIPk2EIPlcr2493.4222cr)7.0(19.20lEIlEIP493.4kl§2轴心受压构件的弯曲屈曲3）轴心受压构件的计算长度对其他约束情况，Pcr同样可由高阶微分方程计算，如：两端铰支：一端固定一端自由：一端固定一端平移但不转动：可统一表示为：l0称计算长度，μ为计算长度系数。)1(22crlEIP2)()2(22crlEIP)1(22crlEIP22202cr)(lEIlEIP§2轴心受压构件的弯曲屈曲讨论l0的实质由曲率方程有：若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即：和代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组即应有展开得：即令，得，解得最小值kzBkkzAkycossin2201yzz02yzz0cossin0cossin2211kzBkzAkzBkzA0coscossinsin2121kzkzkzkz0sincoscossin2121kzkzkzkz0)sin(12zz120zzl0kl0sin0kl§2轴心受压构件的弯曲屈曲由此得到与欧拉临界力相同的算式：l0的实质为点z1、z2之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。l0实际上相当于相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。202crlEIP§2轴心受压构件的弯曲屈曲§2.3轴心受压构件的大挠度弹性理论1）大挠度方程构件弯曲曲率与变形的关系：两端铰接轴压杆大挠度方程为：232])(1[/yy0])(1[232PyyyEI/§2轴心受压构件的弯曲屈曲2）讨论（1）当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳定平衡状态；（2）当P≥PE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与挠度关系；§2轴心受压构件的弯曲屈曲（3）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分枝点；（4）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达到构件长度3%以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段。因此轴心压杆的屈曲后强度不能被利用。§2轴心受压构件的弯曲屈曲§2.4轴心受压构件的非弹性屈曲欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。临界长细比ppp22pcrEE弹性失稳和弹塑性失稳的分界点§2轴心受压构件的弯曲屈曲1）切线模量理论由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在1889年提出。基本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在1－1截面右侧边缘产生的拉应力。即：凹面压应力增加为max；凸面压应力增加量正好为0。§2轴心受压构件的弯曲屈曲作用于1－1截面上的压力为：作用于1－1截面上的内力矩为：ttAtAPPPdAdAP)(AAAAizdAChdAzhdAzhCzdAzM2max2max2max全截面对形心轴的面积矩为0hEEtmaxtmaxyIEIEtt§2轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。0PyMPyMii0PyyIEtEt2t2tPEElIEPtttPEP§2轴心受压构件的弯曲屈曲2）双模量理论（折算模量理论）由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在1895年提出。基本假定：（1）在弯曲时全截面出现反号应变；（2）压杆屈曲时压力保持不变。弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即：凹面为继续加载区，凸面为卸载区。加载区变形模量为Et；卸载区变形模量为E01121222max2111max12211AAAAdAzCdAzCdAdA§2轴心受压构件的弯曲屈曲作用于1－1截面上的压力变化值为：由于屈曲后压力保持不变，因此则即由上式可以求出中性轴的位置。21221121PPdAdAPAA1tmax1tmax1CEE2max2max2CEE0)(212211tAAdAEzdAzE021tESSE§2轴心受压构件的弯曲屈曲1-1截面上的内力矩：yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCdAzCdAzdAzMAAAAAAi)()(21t21t21t222121t2222max21211max1222111212121§2轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：即求解微分方程，得：其中为折算模量，与E,Et和截面形状有关。Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。0PyMPyMii0)(21tPyyEIIEEr2r2221t2r)(PEElIElEIIEPIEIIEE21tr§2轴心受压构件的弯曲屈曲3）Shanley理论Shanley于1947年设计了Shanley模型来解释试验值更接近切线模量理论。力学模型：（1）模型有三部分组成：两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；（2）弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；（3）铰的-曲线是折线。弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。EtEEtE§2轴心受压构件的弯曲屈曲铰的弹性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距为h，每肢面积为A/2；当P达到临界时，