2012高考数学二轮专题复习课件：策略1 高考中选择题、填空题的解题方法

策略1高考中选择题、填空题的解题方法1．选择题是高考数学试卷的三大题型之一，题量一般为10到12个，绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难排序，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．能否在选择题上获取高分，关系到高考数学成绩高低，解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速．2．选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点．选择题主要考查对基础知识的理解、对基本技能、基本计算、基本方法的熟练运用，以及考查考虑问题的严谨性，解题速度等方面．解答选择题的基本策略是充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断．一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不要采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接法解；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法．解题时应仔细审题、深入分析、正确推理、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确．3．由于选择题80%以上的题目都可以用直接法通过思考、分析、运算得出结论．因此直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题方法．解选择题的特殊方法有直接法、特例法、排除法、数形结合法、极限法、估值法等．直接法所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”．其基本策略是由因导果，直接求解．【例题1】►已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝2sinx，动直线x＝t与f(x)、g(x)的图象分别交于点P、Q，则|PQ|的取值范围是()．A．[0,1]B．[0,2]C．[0，2]D．[1，2]解析依题意得点P(t，sint＋cost)，Q(t,2sint)，则|PQ|＝sint＋cost－2sint2＝|sint－cost|＝2sint－π4∈[0，2]．答案C【例题2】►在三棱锥ABCD中，已知侧面ABD⊥底面BCD，若∠ABC＝60°，∠CBD＝45°，则侧棱AB与底面BCD所成的角为()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析作AO⊥BD于点O，则AO⊥底面BCD，∴AB在底面BCD上的射影是BO，∴直线AB与底面BCD所成的角为∠ABD.∵cos∠ABC＝cos∠ABD·cos∠CBD，∴cos∠ABD＝cos∠ABCcos∠CBD＝cos60°cos45°＝22，∴∠ABD＝45°，即直线AB与底面BCD所成的角为45°.答案B点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广．一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法．只要运算正确必能得出正确的答案．提高直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点，用简便方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快．一味求快则会快中出错．特例法特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断．常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效．【例题3】►B是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上在第一象限的任意一点，A为双曲线的左顶点，F为右焦点，∠BFA＝2∠BAF，则双曲线C的离心率为()．A.3B．3C.2D．2解析(特殊值法)设BF⊥x轴，则∠BFA＝90°，则∠BAF＝45°，即a＋c＝b2a，可得双曲线的离心率e＝2.答案D【例题4】►已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(cosφ，sinφ)，θ－φ＝π3，则向量a与向量a＋b的夹角是()．A.π3B.π6C.5π6D.2π3解析由题意可设θ＝π3，φ＝0，则a＝cosπ3，sinπ3＝12，32，b＝(1,0)，a＋b＝32，32＝332，12＝3cosπ6，sinπ6.∴向量a与向量a＋b的夹角为π6.答案B点评：在题设条件都成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略．近几年高考选择题中可用或结合特例法来解答的约占30%.因此，特例法是求解选择题的绝招．排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．【例题5】►若函数f(x)＝a－x(a0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()．解析(排除法)∵f(x)＝loga(x＋1)的定义域为{x|x－1}，∴排除A、B.又∵f(x)＝a－x＝1ax(a0，a≠1)是定义域为R的增函数，∴1a1，∴0a1.∴f(x)＝loga(x＋1)为定义域内的减函数，排除C.答案D【例题6】►若0b1＋a，若关于x的不等式(x－b)2(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()．A．－1a0B．0a1C．1a3D．3a6解析取a＝±12代入原不等式，得3x2－8bx＋4b20.解得x2b3，或x2b，这样必超过三个整数解，从而排除A、B；取a＝4，代入原不等式，得15x2＋2bx－b20，解得－b3xb5，这时必少于三个整数解，从而排除D.综上，只能选C.答案C【例题7】►如果直线y＝kx－1与椭圆x24＋y2a＝1相切，那么a与k的取值范围分别是()．A．(0,1)，－12，12B．(0,1]，－12，12C．(0,1)，－12，0∪0，12D．(0,1]，－12，12解析直线与椭圆相切，则点(0，－1)不在椭圆内，得0a≤1，∴排除A、C；当k＝12时，直线和椭圆相交，∴排除D.答案B点评：排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中占有很大的比重．数形结合法数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．【例题8】►设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|等于()．A．8B．4C．2D．1解析根据|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，两边平方可得AB→·AC→＝0，则AB→⊥AC→，于是可构造如右图所示的矩形．由BC→2＝|BC→|2＝16，得|BC→|＝4，则|AM→|＝12|BC→|＝2.答案C【例题9】►用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()．A．4B．5C．6D．7解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．答案C点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题方法．估算法在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项．对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”．【例题10】►已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5π2θπ，则tanθ2等于()．A.m－39－mB.m－39－mC.13D．5解析因为cos2θ＋sin2θ＝1，则m一定为确定的值，因此sinθ，cosθ的值与m无关，从而tanθ2也与m无关，A、B排除．我们可估算tanθ2的大致取值范围来排除不正确的答案，π2θπ，π4θ2π2，所以tanθ21，故选D.答案D综合法当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解．根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选项里找解题灵感．【例题11】►已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx.若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()．A．(0,2)B．(0,8)C．(2,8)D．(－∞，0)解析对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，即是x∈D1，有f(x)0，x∈D2，有g(x)0，其中D1∪D2＝R.通过分析，我们知道此题按常规思路解的难度很大，既要对m进行分类讨论，又要根据不同函数的性质来求解，所花时间会很多，不利于后面的解题．此时，我们应停下笔，静下心，仔细看看选项，也许它们能提供不错的解题思路．通过观察选项，我们发现2是一个特殊值，对其进行检验．当m＝2时，f(x)＝4x2－4x＋1＝(2x－1)2，g(x)＝2x.当x≤0时，f(x)0；当x0，g(x)0，满足题意，所以选B.如果取一个特殊值还不足以说明问题，我们就多取几个，取值的原则为有利于计算，有利于发现问题的本质．以此题为例，假设若取m＝2未发现答案，则我们还可取m＝1或m＝4.答案B【例题12】►如图所示，P是正四面体VABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是()．A．直线B．抛物线C．离心率为223的椭圆D．离心率为3的双曲线解析A易排除，综合选项及题干，我们知道该题考查的是圆锥曲线的统一定义，即曲线上的点到定点和定直线的距离比是否为常数，常数值是多少？设VP＝PD＝t，作PE⊥BC于E，则∠PED就是面VBC与面ABC所成的二面角的平面角．易求cos∠PED＝13，所以PE＝324t，所以PVPE＝2231.动点P的轨迹是离心率为223的椭圆．答案C点评：综合法解题是高考数学中解选择题的常用方法，要求考生综合能力较高．1．填空题的类型填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．2．填空题的特征填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到