2012高考数学理专题突破课件第一部分专题五第一讲：直线与圆

专题五解析几何第一部分专题突破方略第一讲直线与圆主干知识整合1．两直线平行、垂直的判定(1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合时，则两直线平行；若两直线中，一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在时，则两直线垂直．(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得一元二次方程的判别式Δ的符号相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ03.圆与圆的位置关系设⊙O1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21(r10)，⊙O2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22(r20).表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1，r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2有一组解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)有一组解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解高考热点讲练直线的方程例1(1)经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是()A．3x－2y－3＝0B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0(2)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为()A．2x＋y－6＝0B．x－2y＋7＝0C．x－y＋3＝0D．x＋2y－9＝0【解析】(1)∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是32，∴直线l的方程是y＝32(x－1)，即3x－2y－3＝0.(2)取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)．则a2＋b＋22－5＝0b－2a＝1，解得a＝3b＝5，∴B(3,5)．联立方程，得2x－y＋2＝0x＋y－5＝0，解得x＝1y＝4，∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝4－51－3(x－1)，整理得x－2y＋7＝0，故选B.【答案】(1)A(2)B【归纳拓展】(1)求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是：①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数．(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”“无截距”造成丢解的情况．(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”造成丢解．变式训练1“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋(2a－1)×a＝0，解得a＝0或a＝－1.故a＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为()圆的方程例2A．(x±33)2＋y2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝13【解析】依题意得，圆心C在y轴上(如图所示)，故可排除A、B，又圆心C到圆上的点A(1,0)的距离大于1，故圆的半径大于1，可排除D.故选C.【答案】C【归纳拓展】求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．求圆的方程一般采用待定系数法．变式训练2设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是__________．解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋a2＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8直线与圆的位置关系例3(2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解】(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a20.因此x1,2＝8－2a±56－16a－4a24，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ0，故a＝－1.【归纳拓展】研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心到圆心的距离与圆的半径的大小关系这一关键点，在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．变式训练3已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，若点M在圆C上，且有OM→＝OA→＋OB→(O为坐标原点)，则实数k＝__________.解析：结合图形可知，当A，B，M均在圆上时，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离等于1.只要d＝1k2＋1＝1，解得k＝0.答案：0考题解答技法例(2011年高考重庆卷)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．52B．102C．152D．202【解析】圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝210，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．故EF＝5，∴BD＝210－52＝25，∴S四边形ABCD＝12AC·BD＝102.【答案】B【得分技巧】解答直线与圆的综合试题，要注意运用平面几何的知识对问题进行转化，转化后再进行代数计算，这样可以简化解题过程．【失分溯源】解答本题考生出错的原因：一是对最长弦和最短弦不理解；二是不会把四边形ABCD看成两个三角形组成．变式训练已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，则圆C的半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为|a－1|2，根据勾股定理可得，(|a－1|2)2＋(2)2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放