2012高考数学理专题突破课件第二部分第五讲：高考热点问题

第二部分应试高分策略第五讲高考热点问题高考热点突破恒成立问题包括不等式的恒成立和等式的恒成立两大类．不等式恒成立问题有两类：一类是不含参数的不等式恒成立问题，这类问题实际上就是证明这个不等式；另一类是含有参数的不等式恒成立问题，其基本解题思想是将问题转化为函数的最值或值域问题，解决的基本方法有两种：(1)是分离参数(当然是能够分离)；(2)是通过数形结合、以形助数列出关于参数的不等式．例1(2011年高考陕西卷)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g1x的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a对任意x＞0成立．【解】(1)由题意知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋1x，∴g′(x)＝x－1x2.令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g(x)的最小值为g(1)＝1.(2)g1x＝－lnx＋x.设h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2.当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g1x，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)＞g1x，当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g1x.(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)＜1a对任意x＞0成立⇔g(a)－1＜1a，即lna＜1，从而得0＜a＜e.定值、定点问题定值、定点问题是在运动变化中寻找不变量的一类题型，这类问题往往是先根据特殊情况找到这个定值、定点，再对一般情况作出证明，体现了一般与特殊的数学思想．定值、定点问题是数学思想与数学知识紧密结合产生的一类综合性试题，是高考考查考生能力的热点题型之一．如图，已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且AP→·AQ→＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．例2【解】(1)由x2＋y2－6x－2y＋7＝0得(x－3)2＋(y－1)2＝3，∴圆M的圆心为(3,1)，半径r＝3.由题意知A(0,1)，F(c,0)(c＝a2－1)，得直线AF的方程为xc＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切得|3＋c－c|c2＋1＝3，∴c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)证明：由AP→·AQ→＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－1kx＋1，k≠0，将y＝kx＋1代入x23＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－6k1＋3k2，因此点P的坐标为－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2，同理，点Q的坐标为6kk2＋3，k2－3k2＋3，∴直线l的斜率为k2－3k2＋3－1－3k21＋3k26kk2＋3－－6k1＋3k2＝k2－14k，直线l的方程为y＝k2－14kx－6kk2＋3＋k2－3k2＋3，即y＝k2－14kx－12，故直线l过定点0，－12.最值问题最值问题是在运动变化中寻找特殊值的一类问题，《考试大纲》有三处涉及这个问题，一是在函数部分，二是在三角函数部分，三是在导数及其应用部分．最值问题有较为广阔的命题背景，既可以考查函数的最值，也可以考查解析几何、立体几何、数列等问题的最值，还可以考查概率、统计中的最值，解决这类问题的基本思想是构建函数、不等式，通过研究函数或不等式加以解决．例3(2011年高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【解】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.范围问题范围问题几乎可以出现在高中数学的各个地方，这类问题的解法也是多种多样的，既可以数形结合直观求解，也可以构造函数通过研究函数性质解决，还可以转化为与之等价的问题．在解题过程中往往是数学知识和数学思想相互交织，缺一不可，这类试题的灵活性大，对考生的能力要求较高，是高考的热点题型之一．例4已知点P(2cosα，2sinα)和Q(a,0)(a≠0)，O为坐标原点．当α∈(0，π)时，(1)若存在点P，使得OP⊥PQ，求实数a的取值范围；(2)如果a＝－1，求向量PO→与PQ→的夹角θ的最大值．【解】(1)OP→＝(2cosα，2sinα)，QP→＝(2cosα－a,2sinα)，由OP⊥PQ，得OP→·QP→＝4cos2α－2acosα＋4sin2α＝4－2acosα＝0，由α∈(0，π)，得cosα＝2a∈(－1,1)，a－2或a2.(2)当a＝－1时，PO→＝(－2cosα，－2sinα)，PQ→＝(－1－2cosα，－2sinα)，cosθ＝PO→·PQ→|PO→||PQ→|＝2cosα1＋2cosα＋2sinα222cosα＋12＋2sinα2＝cosα＋24cosα＋5＝cosα＋54＋342cosα＋54≥32，当cosα＋54＝34，即cosα＝－12，α＝23π∈(0，π)时，取等号．又∵cosθ在θ∈(0，π)上是减函数，∴θmax＝π6.高考非常重视考查考生的应用意识，由于数学应用的广泛性，数学应用题的命题背景非常广阔，初等函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率与统计、导数等都可以成为命制数学应用问题的知识背景．解决数学应用问题的关键是建立应用问题的数学模型，这是应用问题的实质所在，根据《考试大纲》和近年的高考对应用问题的考查来看，应用问题的主要考查点是构建函数模型、不等式模型处理问题，这是高考的热点题型之一．应用问题遵照国家环保总局的要求，为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为例5y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000.若S0，则x2－600x＋1600000，其判别式Δ＝6002－4×1600000，该不等式无解，故该单位每月不能获利．又S＝100x－y＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故国家每月至少需要补贴40000元，才能不亏损．探索性问题是考查考生分析问题、解决问题的能力，考查考生创新意识的良好题型，这类问题一般是以“是否存在”设问，解决的一般思路就是先假设其存在，通过推理论证如果导出了矛盾，就说明其不存在，否则就是存在的．探索性问题例6如图所示，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝12CD.(1)求证：BC⊥平面ABPE；(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．【解】(1)证明：∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO.又BC⊥AB，AB∩PO＝O，∴BC⊥平面ABP.又EA∥PO，AO⊂平面ABP.∴EA⊂平面PAB.∴BC⊥平面ABPE.(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合．取PB的中点F，连接EF，CF，DE，如图所示．由平面几何知识知EF∥OB且EF＝OB，又OB∥CD且OB＝CD，∴EF∥CD且EF＝CD.∴四边形DCFE为平行四边形．∴DE∥CF.∵CF⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC，即DM∥平面PBC.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放