搜索
第二单元函数与导数知识框架第二单元│知识框架第二单元│知识框架考纲要求第二单元│考纲要求1．函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)(1)函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用．④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质．第二单元│考纲要求(2)指数函数①了解指数函数模型的实际背景．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．④知道指数函数是一类重要的函数模型．(3)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．③知道对数函数是一类重要的函数模型．④了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0且a≠1)．(4)幂函数①了解幂函数的概念．②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，了解它们的变化情况．(5)函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．第二单元│考纲要求(6)函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第二单元│考纲要求考纲要求第二单元│考纲要求2．导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景．②理解导数的几何意义．(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．常见基本初等函数的导数公式：C′＝0(C为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈N＋；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a＞0，且a≠1)．常用的导数运算法则：法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．法则3：uxvx′＝uxvx－uxvxv2x(v(x)≠0)．第二单元│考纲要求(3)导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(4)生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．(5)定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；②了解微积分定理的含义．命题趋势纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题．也有挖掘本质，活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题．高考对导数的考查形式比较固定，一般会有一道解答题(作为压轴题的情况更为常见)，主要体现为导数几何意义、导数求值、函数的单调性、极值、最值、值域及不等式等方面的考查，分值为5至14分．第二单元│命题趋势函数与导数的考查有以下特点：1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图像为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力．3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法．第二单元│命题趋势4．导数在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论，转化化归等思想．函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线，预测2012年高考中会有2～3道主要考查函数的概念、性质和图像的选择题、填空题，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列等知识相结合设计试题，考查函数知识及导数的综合应用．第二单元│命题趋势使用建议1．编写意图“函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础，其知识、观点、思想和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决．因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，函数的复习也是高三数学第一轮复习的重头戏．编写中注意到以下几个问题：(1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识，因此在选题时注重基础题为主，尽量避免选用综合性强，思维难度大的题目；第二单元│使用建议(2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数学思想与方法，在本单元中均有涉及，充分体现了数学思想是本书的精髓的理念；(3)从近几年高考看来，涉及该部分内容的新情景、新定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话题，因此适当加入了类似的题目；(4)突出了函数性质的综合应用，在第6讲复习完函数的性质后，专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业．(5)为体现导数在研究函数中的作用，专门设置了以该内容为主的滚动基础训练；(6)有意识地将解析几何中切线、最值问题，函数的单调性、极值、最值问题，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题，切线问题的典型问题，充分体现导数的工具性．第二单元│使用建议2．教学指导高三函数复习不是简单的知识重复，而是再认识，再提高的过程，复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，而且高一学习函数时是走马观花，匆匆而过，这就要求在上复习课时既要做到突出重要点，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系，使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提高，因此教师在引导学生复习该部分时，对各层次知识点要把握准确，切忌追求难题、偏题和怪题．教学时，注意到如下几个问题：(1)突出《考纲》的导向性作用：引导学生研读《考纲》，即不仅老师对《考纲》中对函数的考查要求要了如指掌，学生也必须十分明确，知道自己该在哪些方面下工夫，明确自己的任务和方向，以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合拍，减少师生之间的无谓的内耗，与高考先来次“零接触”．第二单元│使用建议(2)重视教材的基础作用和示范作用：函数客观题一般直接来源于教材，往往就是课本的原题或变式题，主观题的生长点也是教材，在函数复习备考中重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题，贯彻“源于课本，高于课本”的原则．(3)阐明知识系统，掌握内在联系：知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志，函数概念、图像和性质是环环相扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的知识体系，这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的．第二单元│使用建议(4)重视渗透数学的思想方法：数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，单纯的知识教学只能是学生知识的积累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中，函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想、数形结合的思想，数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法、构造法等．数学思想方法是以具体的知识为依托的，在复习教学中，要重视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，有意识的渗透思想方法，使学生从更高层次去领悟，去把握，去反思数学知识，增强数学意识，提高数学能力．第二单元│使用建议(5)重视几类特殊函数：抽象函数、分段函数理解研究起来比较困难，但是这类问题对培养学生观察能力，有十分重要的作用，近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎．(6)引导学生按考试要求的三个层次进行导数的复习，不能停留在简单地复习导数的知识和应用上．3．课时安排本单元共12讲，其中第4讲，第6讲各2个课时，其余每讲建议1课时完成，两个滚动基本训练各1个课时，一个单元能力训练卷1课时完成，因此建议16课时完成复习任务．第二单元│使用建议第4讲│函数及其表示第4讲函数及其表示知识梳理1．函数(1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f(x)的________，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的______，显然，{f(x)|x∈A}⊆B.(2)构成函数的三要素是：________、________、________.(3)函数的表示方法：________、________、________.第4讲│知识梳理唯一确定定义域值域定义域对应关系值域解析法列表法图像法第4讲│知识梳理2．映射映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照的对应关系f，使对于集合A中的__________元素x，在集合B中都有________元素y和它对应，那么就称对应f：A→B叫做从集合A到集合B的一个映射．映射与函数的关系：函数是______的映射．3．分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值，____________可以不止一个，即对应法则“f”是分几段给出表达的，它是一个函数，不是几个函数．某一种确定任意一个唯一的特殊表示的式子第4讲│知识梳理分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的______．4．复合函数若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值集合是g(x)的______．5．函数解析式的求法求函数解析式的常用方法：____________、________、________、赋值法和函数方程法．并集并集值域待定系数法换元法配方法6．常见函数定义域的求法(1)整式函数的定义域为__________；(2)分式函数的分母不得为____；(3)开偶次方根的函数被开方数为________；(4)对数函数的真数必须________；(5)指数函数与对数函数的底数必须________________；第4讲│知识梳理全体实数零非负数大于零大于零且不等于1(6)三角函数中的正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠________________；(7)如果函数是____________确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围；(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；(9)对于复合函数y＝f[g(x)]，若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域是不等式__________的解集．第4讲│知识梳理kπ＋π2，k∈Z实际意义a≤g(x)≤b要点探究►探究点1函数与映射的概念例1已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，构成A到B的函数的是_____