2012高考数学考前三个月专题复习课件3(2)： 三角变换与解三角形

§2三角变换与解三角形真题热身1．(2011·重庆改编)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①∵a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4.∴ab＝21＋cosC.又∵C＝60°，∴ab＝43.432．(2011·上海)函数y＝sinπ2＋xcosπ6－x的最大值为________．解析y＝sinπ2＋xcosπ6－x＝cosx·cosπ6－x＝cosxcosπ6·cosx＋sinπ6·sinx＝cosx32cosx＋12sinx＝32cos2x＋12sinx·cosx＝32·1＋cos2x2＋14sin2x＝34＋34cos2x＋14sin2x＝34＋1212sin2x＋32cos2x＝34＋12sin2x＋π3，∴当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2＋34.2＋343．(2011·辽宁改编)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝________.解析sin(π4＋θ)＝22(sinθ＋cosθ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.－794．(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝________.解析∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sinBsinB，即sinAcosA－sin2B＝0，∴sinAcosA－(1－cos2B)＝0，∴sinAcosA＋cos2B＝1.1考点整合1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)ABC⇔abc⇔sinAsinBsinC.(3)a＝bcosC＋ccosB.分类突破一、三角变换及求值例1已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．解(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，又0βπ2，所以β＝π3.归纳拓展“角”是考查三角函数的主要内容，三角函数的化简求值要通过寻求角与角之间关系的特殊性来进行求解，求解中要注意已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换等，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)等．其基本的思维过程为：寻找角之间的关系，确定角的范围，求三角函数值．变式训练1(2011·天津)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．解(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠π8＋kπ2，k∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈(0，π4)，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，即α＝π12.二、正、余弦定理例2(2011·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14.解得a＝1.从而c＝2.又因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.归纳拓展(1)本题在三角形的背景下，考查正、余弦定理、三角变换．三角形为背景就隐含着条件A＋B＋C＝π，三角变换主要用到两角和(差)的正、余弦公式及倍角公式，并且常常是公式的逆用及变用．(2)正弦定理的另一表达形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能实现三角形中的角、边关系的相互转化，可大大简化计算．变式训练2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA，又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，∴sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝bcsinC．故b＝4ccosA．②由①②解得b＝4.三、正、余弦定理的实际应用例3如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A0，ω0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解方法一(1)依题意，有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，∴ω＝π6.∴y＝23sinπ6x.当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，∴M(4,3)，又P(8,0)，∴MP＝42＋32＝5.(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.设∠PMN＝θ，则0°θ60°.由正弦定理得MPsin120°＝NPsinθ＝MNsin(60°－θ)，∴NP＝1033sinθ，MN＝1033sin(60°－θ)，∴NP＋MN＝1033sinθ＋1033sin(60°－θ)＝103312sinθ＋32cosθ＝1033sin(θ＋60°)．∵0°θ60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．方法二(1)同方法一．(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，由余弦定理得MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤MN＋NP22，从而34(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤1033.当且仅当MN＝NP时等号成立．即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．归纳拓展应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(π3x＋φ)，x∈R，A0,0φπ2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解(1)由题意得T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asin(π3x＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0φπ2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－(9＋4A2)2A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A0，所以A＝3.规范演练一、填空题1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为________．解析f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，T＝2π|ω|＝2π.2π2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．解析由题知，12×4×3×sinC＝33，∴sinC＝32.又0Cπ2，∴C＝π3.π33．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC＝________.解析在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，故B＝π3.由正弦定理知sinA＝asinBb＝12.又ab，因此A＝π6.从而可知C＝π2，即sinC＝1.14．(2011·江苏)已知tan(x＋π4)＝2，则tanxtan2x的值为________．解析由tan(x＋π4)＝1＋tanx1－tanx＝2得tanx＝13，tanxtan2x＝tanx2tanx1