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13.4.最短路径问题一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用．教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，以《几何画板》为平台，通过动态的演示，对线段长度的度量，更有助于学生的探究发现.五、教学过程设计：活动设计学生活动设计意图感受情景，抛出问题.一位将军要从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、感受情景，激发学习热情.2、问题思考利用问题情景，从学生熟悉的生活情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系.活动一、抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.明确：（1）将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.学生通过观察分析，体会实际问题数学化的过程，同时也培养学生的模型思想._l_A_B活动二：自主探究问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？如果学生有困难，适时提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB′吗?（3）此时，点B与点B′有怎样的位置关系？1、学生独立思考，画图分析，并尝试回答2、学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充.1、设计异侧问题，为进一步探究同侧问题作铺垫，通过搭建台阶，为学生探究问题提供方向，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。2、追问找点的过程，让学生在反思中体会轴对称的作用3、在小组合作学习中学生找到解决问题的方法，意在体现学生的合作意识.活动三：问题解决1、作法：B'ABC（1）作点B关于直线l的对称点B’.(2)连接AB’，与直线l相交于点C.则点C即为所求.1、学生动手作图，并说明作图方法.2、比较不同作法.帮助学生比较，判断不同作法的合理性，让学生真正理解解决问题的方法._l_A_B_l_A_B_C_B_A_B_Cll活动四：证明最短问：你能证明AC+BC最短吗？证明：在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．追问：证明AC+BC最短时，为什么要在直线上任取一点C′（与点C不重合）呢？1.教师几何画板验证2.师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书1.几何画板演示，一方面让学生从数的角度感知作法的正确性，也让学生在动态中感知点C’位置的任意性2.几何证明让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．活动五：反思归纳回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？学生围绕问题回答相互补充，达成共识。学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.也为接下来的问题积累活动经验._C_B'_A_B_C'l活动六：类比探究如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）1、抽象出数学图形及数学问题.如图，a//b,点A和点B是两条平行线a与b外的两点，当点Ｎ在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？2、教师结合几何画板演示让学生观察：随着点Ｎ在直线b上的位置的改变，观察AM、MN、NB的长度，你有什么发现？3、小组讨论，交流，全班展示解决问题方法方法呈现（之一）将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′连接A′B,线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，1、学生思考，画出图形，抽象出数学问题2、教师结合几何画板引导学生观察当点Ｎ在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的体会选址的意义.3、学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法这个问题有着很好的实际背景，情景贴近生活实际，平移是问题实现转化的一个重要策略，问题串的设计，可以让学生更好地想到将问题转化为“两点之间，线段最短”，而去进一步探索实现这种转化的方法，激活学生思维，增强学生的探究欲望，让接下来的小组活动真正落到实处。通过合作学习意在体现学生的合作意识.活动七：反思小结1.上述最短路径问题，我们借助了哪些图形变化将问题化难为易，运用了什么知识解决的？2.你能说说解决最短路径问题的基本策略吗？学生回顾所学，回看动画内容，回答问题.让学生回顾本节课的学习.体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想.练习：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.附：教学设计说明一、教学内容的地位及作用《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章“轴对称”中一节的内容，为本单元的课题学习，在学习该内容前，学生已经学习了轴对称、轴对称图形，会画一些简单的轴对称图形，对“最短路径问题”的探究，让学生在前几节课上获得的知识和经验能够得到很好地应用，有利于这些知识的系统化和网络化。在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中有很强的现实意义.二、教学理念1、注重以活动为主线为追求课堂教学的有效性，努力设计出“能引发学生数学思考”的课堂活动。构建以活动为主线的教学形式，让学生在活动中体验数学、领悟数学、理解数学。本课中，课件及模具演示，图形变换由“静态”转化为“动态”，让学生实实在在地经历观察、猜测，推理、验证等一系列活动，使学生的学习始终贯穿于活动之中，让学生在欢乐、宽松的学习环境中主动学习.2、强化学生对数学本质的认识这一节课的数学学习，遵循“实践，认识，再实践，再认识”的认知规律，让学生在反反复复的琢磨后逐渐得到解决问题的思想方法，体会轴对称、平移图形变换的作用，感悟“转化”思想这些数学本质.本节课的活动设计，课件演示，为课堂注入了新的活力，师生的操作与交流指向了思路的分析，“变与不变”的直观感知是一种体验，更是一种感悟，隐藏其中的“四基”也就是在这种体验和感悟中自然生产的.三、教法学法本节课采取直观演示法和自主探究法，使用动画演示，化静为动，帮助学生理解找所求点的方法以及作法的合理性，并通过学生自主操作、合作探究，使问题得到解决。在设计问题时，注重问题的启发性和思考性，在学生自主探究中暴露问题，从而引导学生的分析、思考.本节课采取合作学习的方式，充分给予学生展示自己的机会，采取小组展示和全班展示，教师适时给予评价，充分调动学生的学习积极性.ABCPQ山河岸大桥