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-1-2.2.3独立重复试验与二项分布-2-2.2.3独立重复试验与二项分布首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.会分析n次独立重复试验的模型及意义.2.能记住二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.-3-2.2.3独立重复试验与二项分布JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.n次独立重复试验的概念一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.思考1如何正确认识独立重复试验?提示:①在相同条件下重复做n次试验的过程中,各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响.②在独立重复试验中,每一次试验只有两个结果,也就是事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中,某事件发生的概率都是一样的.-4-2.2.3独立重复试验与二项分布JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k,k=0,1,2,3,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.-5-2.2.3独立重复试验与二项分布JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考2如何理解二项分布与超几何分布的关系?提示:由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这两个分布的关系是:在产品抽样检验中,如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.在实际工作中,抽样一般都采用不放回方式,因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布,但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值,计算相对复杂,并且二项分布的计算可以查专门的数表,所以,当产品总数很大而抽样数不太大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.-6-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一独立重复试验概率的求法n次独立重复试验的特征:①每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变;②每次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立;③每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.-7-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题1】某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种(准确或不准确),符合独立重复试验模型.-8-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)记预报一次准确为事件A,则P(A)=0.8.5次预报相当于5次独立重复试验,2次准确的概率为p=C52×0.82×0.23=0.0512≈0.05,因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”,其概率为p=C50×(0.2)5+C51×0.8×0.24=0.00672.∴所求概率为1-p=1-0.00672=0.99328≈0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确.∴概率为p=C41×0.8×0.23×0.8=0.02048≈0.02.∴恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率约为0.02.-9-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四规律总结独立重复试验概率求解的关注点:(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时,要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验,判断时可依据n次独立重复试验的特征.(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.-10-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二二项分布利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型,也就是看它是否是n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.-11-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题2】在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率;(2)设这4名考生中选做第15题的考生数为ξ个,求ξ的分布列.思路分析:(1)设出事件,利用独立事件求概率.(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可.-12-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(AB)∪(𝐴𝐵)”,且事件A,B相互独立.所以P((AB)∪(𝐴𝐵))=P(A)P(B)+P(𝐴)P(𝐵)=12×12+1-12×1-12=12.-13-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且ξ~B4,12.所以P(ξ=k)=C4𝑘12𝑘1-124-𝑘=C4𝑘124(k=0,1,2,3,4).所以变量ξ的分布列为ξ01234P116143814116-14-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四规律总结本题考查互斥事件至少有一个发生的概率,相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识.解答此题目关键在于分清各知识点的内在区别与联系.-15-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三独立重复试验在解含有相互独立事件的概率时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积.-16-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.思路分析:(1)第三个路口首次遇到红灯,表示前2个路口是绿灯,第3个路口是红灯.(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2个红灯.-17-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为P(A)=1-13×1-13×13=427.-18-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min”为事件B,“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k=0,1,2,3,4).由题意得P(B0)=234=1681,P(B1)=C41×131×233=3281,P(B2)=C42×132×232=2481.所以事件B的概率为P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=89.-19-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四规律总结本题考查运用概率知识解决实际问题的能力.-20-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点审题不清致误【典型例题4】9粒种子分种在3个坑内,每坑放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的分布列.-21-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错解:设需要补种的坑数为X,则X取值为0,1,2,3.由独立重复试验知P(X=0)=C30×123=18,P(X=1)=C31×12×122=38,P(X=2)=C32×122×12=38,P(X=3)=C33×123=18.则所求分布列为X0123P18383818错因分析:错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率.-22-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四正解:因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=18,所以单个坑不需补种的概率为1-18=78.设需要补种的坑数为X,则X取值为0,1,2,3.P(X=0)=C30×180×783=343512;P(X=1)=C31×181×782=147512;P(X=2)=C32×182×781=21512;P(X=3)=C33×183×780=1512.所以需要补种坑数的分布列为X0123P343512147512215121512-23-2.2.3独立重复试验与二项分布SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12341.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为35,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是()A.C54×354×25B.C55×355C.C54×354×25+C55×355D.1-C53×353×252解析:该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形.故所求概率为P=C54×354×25+C55×355.答