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本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课【学习要求】1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．【学法指导】在学习计数原理时，若能结合常见重要题型将所遇到的问题转化求解，同时注意题目本身的“特色”，加以注意，就可以应对背景新颖与综合的题目，养成自己分析问题、解决问题的能力.本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课填一填·知识要点、记下疑难点两个计数原理在解决计数问题中的用法在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，是分类还是分步．本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课题型一抽取(分配)问题例1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课方法二(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．小结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．研一研·题型解法、解题更高效答案C本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课跟踪训练13个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择；根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5；分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)；共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课题型二涂色问题例2一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课解(1)如图1，先对a1部分涂色，有3种不同的涂色方法，再对a2、a3涂色．因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种)．(2)如图2，当a1、a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)涂色方法，当a1、a3同色时，有3×2×2×1＝12(种)涂色方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)涂色方法．小结(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课跟踪训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．12研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课题型三种植问题例3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种)．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课小结按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课跟踪训练3将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答).解析分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．abc研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课(2)若第三块田放a：aba第四块有b或c两种方法：①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.abab研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处1.某电话局的电话号码为168*****，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()A.20个B．25个C.32个D．48个C本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处2.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A.18条B．20条C.25条D．10条解析第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；A当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条).本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课3.如图是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻正方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．练一练·当堂检测、目标达成落实处解析涂第一个正方形时有5种方法；涂第二个正方形时颜色与第一个不同，有4种方法；1280由于颜色可以反复使用，因此第三个、第四个、第五个正方形各有4种涂法．由分步乘法计数原理知，所有的涂色方法共有5×4×4×4×4＝1280(种)．本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课4．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种．练一练·当堂检测、目标达成落实处解析A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有2种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有1种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2×(3＋2＋1)＝12(种)不同的选垄方法．12本课时栏目开关填一填研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.本课时栏目开关填一填研一研练一练