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本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型一两个计数原理的应用基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2mB．C1mC2n＋C1nC2mC．C1mC2n＋C1nC2m＋C1mC1nD．C1mC2n＋1＋C2m＋1C1n研一研·题型解法、解题更高效分析方法一，分成三类，用分类加法计数原理；方法二，间接法，去掉三点共线的组合．解析方法一第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C1mC2n个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C2mC1n个；第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C1mC1n个．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课由分类加法计数原理共有N＝(C1mC2n＋C2mC1n＋C1mC1n)个三角形．研一研·题型解法、解题更高效方法二从m＋n＋1中任取三点共有C3m＋n＋1种情况，其中三点均在射线OA上(包括O点)，有C3m＋1个，三点均在射线OB上(包括O点)，有C3n＋1个．所以，三角形的个数为N＝C3m＋n＋1－C3m＋1－C3n＋1.答案C本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．144种B．72种C．64种D．84种研一研·题型解法、解题更高效解析根据所用颜色的种数分类第一类：用4种颜色涂，有A44＝4×3×2×1＝24(种)．第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有C12C14A23＝48(种)．第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A24＝4×3＝12(种)．共有24＋48＋12＝84(种)．D本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型二排列与组合应用题在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；(4)集团捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答)研一研·题型解法、解题更高效解析数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2,3必须相邻，此时满足要求的五位数有A22A33＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．18本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练2停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？研一研·题型解法、解题更高效解将4个连在一起的空位看成一个整体，由于另一个空位不能与这个整体相连，则可把这两个元素插在7辆车之间，共有A28种方法；而7辆车共有A77种排法，因此共有A28·A77＝282240(种)不同停法．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型三二项式定理的应用对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例3(1)已知x2－ixn的展开式中第三项与第五项的系数之比为－314，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为()A．第三项B．第四项C．第五项D．第五项或第六项研一研·题型解法、解题更高效解析T3＝－C2nx2n－5，T5＝C4nx2n－10.由－C2n∶C4n＝－314，得n2－5n－50＝0，C∴n＝10，又Tr＋1＝Cr10(－i)rx，据此可知当r＝0,2,4,6,8,10时其系数为实数，且当r＝4时，C410＝210最大．20－52r本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9的值为________．研一研·题型解法、解题更高效解析方法一所给等式即[1－(x＋1)]2＋[1－(x＋1)]10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，而“(x＋1)9”只能从[1－(x＋1)]10中产生，根据二项式定理，a9＝－C910＝－C110＝－10.方法二因为a9与x9项的系数有关，等式左边x9项的系数为0，所以等式右边x9项的系数也为0.因为x10的系数为a10＝C010＝1，x9的系数为a9·C09＋a10·C110＝a9＋10＝0，所以a9＝－10.－10本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结二项式的展开式的右端整理为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的形式，求多项式的系数和有关的问题用赋值法可以直接得解；若右端整理为f(x)＝a0＋a1(x＋m)＋a2(x＋m)2＋…＋an(x＋m)n的形式，此时需要先用左端构造出含(x＋m)的二项式，再分析右端系数的规律求解；求具体某项的符号，需要先由左端构造出含(x＋m)的二项式，再把(x＋m)看做一个整体研究其通项，也可以变换右端相关项的因式求解．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练3(1)(x－1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是()A．第4项和第5项B．第5项C．第5项和第6项D．第6项研一研·题型解法、解题更高效解析根据二项式系数的性质，(x－1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项的系数是负数，所以只有第5项的系数最大．B本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．研一研·题型解法、解题更高效解析方法一因为(x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝C09＋C19(x＋1)＋C29(x＋1)2＋…＋C99(x＋1)9，所以a0＝C09＝1，a1＝C19，a2＝C29，…，a9＝C99.因此|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9＝C19＋C29＋C39＋…＋C99＝29－1＝511.方法二由(x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝C09＋C19(x＋1)＋C29(x＋1)2＋…＋C99(x＋1)9知，a1，a2，a3，…，a9均为正，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9.因此，在已知等式中令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29.又a0＝1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝29－1＝511.511本课时栏目开关画一画研一研