《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 离散型随机

2.3.22.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用．2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2填一填·知识要点、记下疑难点1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根DX为随机变量X的．∑ni＝1(xi－E(X))2pi方差标准差本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2填一填·知识要点、记下疑难点2．离散型随机变量方差的性质(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝；(2)D(c)＝0(其中c为常数)．3．服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝.a2D(X)p(1－p)np(1－p)本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效答x甲＝x乙＝7，利用样本的方差公式s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，求得：s2甲＝2.2，s2乙＝1.2.∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？答方差：对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pi，…pn，那么，D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn称为随机变量X的方差，式中的E(X)是随机变量X的均值．标准差：D(X)的算术平方根DX叫做随机变量X的标准差．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？答样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？答方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题5我们知道若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的方差为a2s2.离散型随机变量X的方差是否也有类似性质？答同样具有．方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456P161616161616从而E(X)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D(X)＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，DX≈1.71.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质来解题．在应用方差定义求解时，特别要注意，在(xi－E(X))2pi中，极易把(xi－E(X))2的平方漏掉，产生错误．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知随机变量ξ的分布列为ξ01xP1213p若E(ξ)＝23.(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求Dη的值．解∵12＋13＋p＝1，∴p＝16.又E(ξ)＝0×12＋1×13＋x×16＝23.∴x＝2.故(1)D(ξ)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1527＝59.(2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)，∴Dη＝9Dξ＝5.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二二点分布与二项分布的方差问题若随机变量X～B(n，p)，怎样计算D(X)？二点分布呢？答若X～B(n，p)，可以直接利用公式E(X)＝np计算均值；利用公式D(X)＝np(1－p)计算方差．二点分布是二项分布当n＝1时的特例．E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例2在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分．则由题意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.小结解决本题的关键是建立二项分布模型，搞清随机变量的含义，利用公式简化解题过程．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B(6，13)，∴E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三均值、方差的综合应用问题实际问题中，均值和方差对我们的一些决策有何作用？答利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，也就是当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小)，稳定者就更好，如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当接近即可．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例3有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，D(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结实际问题中，决策方案的最佳选择是将数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施；如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的方差来选择决策方案，至于选择哪一方案由实际情况而定．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2研一研·问题探究、课堂更高效解甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于()A.158B.154C.52D．5A解析ξ～B10，14，∴D(ξ)＝10×14×1－14＝158.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2B．3C．4D．5C解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.解析由题意知，－p1＋p3＝0.1，0.41.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.0.10.5本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知X的分布列为X－101P121316(1)求E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．解(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3