《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二第一章 立体几何初步 章末复习

本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型一三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π3B．3πC.10π3D．6π研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课解析将三视图还原为实物图求体积．由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，研一研·题型解法、解题更高效所以V＝34×π×12×4＝3π.答案B本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．研一研·题型解法、解题更高效解(1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8cm，高为20cm的圆柱，上部为底面直径为8cm，母线长为5cm的圆锥．研一研·题型解法、解题更高效易求得圆锥高h＝52－42＝3(cm)，∴体积V＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm3)，表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2)．∴该几何体的体积为336πcm3，表面积为196πcm2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型二柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例2圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是102cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的体积．研一研·题型解法、解题更高效解设圆柱底面半径为rcm，高为hcm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则2r2＋h2＝1022，2πrh＝100π，∴r＝5h＝10.∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．∴圆柱体积为250πcm3.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．研一研·题型解法、解题更高效解析利用三棱锥的体积公式直接求解．V＝V＝13S·AB＝13×12×1×1×1＝16.16D1－EDFF－DD1E△D1DE本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型三空间中的平行问题1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例3如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.研一研·题型解法、解题更高效证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证OG綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)由正方体性质得B1D1∥BD，研一研·题型解法、解题更高效∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练3如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.研一研·题型解法、解题更高效证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，本课时栏目开关画一画研一研章末复习课∴DN∥BC，研一研·题型解法、解题更高效又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型四空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例4如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.研一研·题型解法、解题更高效证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，研一研·题型解法、解题更高效所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练4如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．研一研·题型解法、解题更高效解(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.研一研·题型解法、解题更高效证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型五空间角的问题1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．2．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例5在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．研一研·题型解法、解题更高效(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，所以BD⊥平面AED.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)解如图，取BD的中点G，连接CG，FG，研一研·题型解法、解题更高效由于CB＝CD，因此CG⊥BD.又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝12CB.又CB＝CF，所以GF＝CG2＋CF2＝5CG，故cos∠FGC＝55，因此二面角F－BD－C的余弦值为55.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练5如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)平面AOB与平面AOC所成角的度数．研一研·题型解法、解题更高效解(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，研一研·题型解法、解题更高效∴OC⊥平面AOB.又∵OC平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题解决．3．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研