《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.1任意角

本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）1.2.1任意角的三角函数(一)【学习要求】1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．2．借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．【学法指导】1．在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律．3．理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）填一填·知识要点、记下疑难点1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作，即；②x叫做α的，记作，即；③yx叫做α的，记作，即．正弦sinαsinα＝ycosαcosα＝xtanαtanα＝yx(x≠0)正切余弦本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）填一填·知识要点、记下疑难点对于确定的角α，上述三个值都是惟一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号yrxryx本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效答sinA＝cosB＝ac＝35；sinB＝cosA＝bc＝45；tanA＝ab＝34；tanB＝ba＝43.探究点一锐角三角函数的定义问题1Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？答sinα＝br，cosα＝ar，tanα＝ba.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，cosα＝，tanα＝.yyxx本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．根据相似三角形对应边成比例，可知这两种定义方法本质上是一致的．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题1单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．yyxxyx本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)，其中r＝x2＋y20.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题3由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关．请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的．证明设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.设P′(x′，y′)为角α上任意一点，且P′与P不重合，过点P′作P′M′⊥x轴，垂足为M′.则易知Rt△OMP∽Rt△OM′P′.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效于是|M′P′||OP′|＝|MP||OP|，|OM′||OP′|＝|OM||OP|，|M′P′||OM′|＝|MP||OM|.∴y′r＝y1＝y，－x′r＝－x1＝－x，y′－x′＝y－x.∴y′r＝y，x′r＝x，y′x′＝yx.(其中r＝x′2＋y′20)即sinα＝y′r＝y，cosα＝x′r＝x，tanα＝y′x′＝yx.故任意角三角函数与角α终边上点P的位置无关，上述两种定义是一致的．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点三三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．(1)sinα＝yr(r0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第象限时，sinα0；当α的终边在第象限时，sinα0.(2)cosα＝xr(r0)，因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第象限时，cosα0；当α的终边在第象限时，cosα0.(3)tanα＝yx，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第象限时，xy0，tanα0；当α终边在第象限时，xy0，tanα0.一、二三、四一、四二、三一、三二、四本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效三角函数值在各象限内的符号，如图所示：三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．本课时栏目开关填一填研一研练一练本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效[典型例题]例1已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．解∵x＝－15a，y＝8a，∴r＝－15a2＋8a2＝17|a|(a≠0)．(1)若a0，则r＝17a，于是sinα＝817，cosα＝－1517，tanα＝－815.(2)若a0，则r＝－17a，于是sinα＝－817，cosα＝1517，tanα＝－815.小结利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.解∵r＝x2＋9，cosθ＝xr，∴1010x＝xx2＋9.∵x≠0，∴x＝±1.∵y＝30，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效例2求下列各角的正弦、余弦、正切值：(1)0；(2)π2；(3)23π.解(1)在角0的终边上任取一点(x，y)，则x＝r0，y＝0，∴sin0＝yr＝0，cos0＝xr＝1，tan0＝yx＝0.(2)在角π2的终边上任取一点(x，y)，则x＝0，y＝r0.∴sinπ2＝yr＝1，cosπ2＝xr＝0，tanπ2不存在．(3)在角23π的终边上任取一点(x，y)，则x＝－12r，y＝32r，y＝－3x.∴sin23π＝yr＝32，cos2π3＝xr＝－12，tan23π＝yx＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2求下列各角的正弦、余弦、正切值：(1)π；(2)3π2；(3)76π.解(1)在角π的终边上任取一点(x，y)，则x＝－r，y＝0，∴sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0.(2)在角3π2的终边上任取一点(x，y)，则x＝0，y＝－r.∴sin3π2＝－1，cos3π2＝0，tan32π不存在．(3)在角76π的终边上任取一点(x，y)，则y＝－12r，x＝－32r，y＝33x.∴sin76π＝－12，cos76π＝－32，tan76π＝33.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效例3判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；(2)sin285°cos(－105°)；(3)sin3·cos4·tan－23π4.解(1)∵α是第二象限角．∴sinα0，cosα0，∴sinα·cosα0.(2)∵285°是第四象限角，∴sin285°0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)0，∴sin285°·cos(－105°)0.(3)∵π23π，π43π2，∴sin30，cos40.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan－23π40，∴sin3·cos4·tan－23π40.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3(1)若sinαcosα0，则α是第________象限角．(2)代数式：sin2·cos3·tan4的符号是________．二或四负号本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于________．解析2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴r＝2，∴cosα＝12.12本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y0，cosα＝35，则tanα＝________.解析∵cosα＝332＋y2＝35，∴32＋y2＝5，∴y2＝16，∵y0，∴y＝－4，∴tanα＝－43.－43本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是________________________．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．利用任意角的三角函数的定义推导特殊角的三角函数值，填写下表.角α0π6π4π3π223π34π56ππ32πsinαcosαtanα答案角α0π6π4π3π223π34π56ππ32πsinα012223213222120－1cosα13222120－12－22－32－10tanα03313无－3－1－330无本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.本课时栏目开关填一填研一研练一练