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专题一求二次函数的解析式类型之一：利用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是()A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－3x＋2D2．抛物线如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是()A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋2D3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝________．－24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为__________________．y＝x2＋x－25．已知抛物线与x轴有两个交点(－1，0)，(3，0)，并且与y轴交点的纵坐标为－6，则这个二次函数的解析式为_________________．6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝4时，y＝3；当x＝－1时，y＝－8；当x＝2时，y＝1.求这个二次函数的解析式．解：根据题意，得16a＋4b＋c＝3，a－b＋c＝－8，4a＋3b＋c＝1，解得a＝－25，b＝175，c＝－215.∴y＝－25x2＋175x－215y＝2x2－4x－67．如图，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．解：(1)由已知条件得c＝0，a×（－4）2－4×（－4）＋c＝0，解得a＝－1，c＝0所以，此二次函数的解析式为y＝－x2－4x(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4，设点P到x轴的距离为h，则S△AOP＝12×4h＝8，解得h＝4，①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4，解得x＝－2，所以，点P的坐标为(－2，4)；②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4，解得x1＝－2＋22，x2＝－2－22，所以点P的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，综上所述，点P的坐标是(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)8．如图所示，抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，设抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)以B，C，D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？解：(1)设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线与y轴交于点C(0，－3)，可知c＝－3，即抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－3.把点A(－1，0)，B(3，0)代入，得a－b－3＝0，9a＋3b－3＝0.解得a＝1，b＝－2，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.∴顶点D的坐标为(1，－4)(2)以B，C，D为顶点的三角形是直角三角形．理由如下：过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F.在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，∴BC2＝18.在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF－OC＝4－3＝1，∴CD2＝2.在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB－OE＝3－1＝2，∴BD2＝20.∴BC2＋CD2＝BD2.故△BCD为直角三角形类型之二：利用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式9．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－8D10．一抛物线的形状、开口方向与y＝12x2－4x＋3相同，顶点在(－2，1)，则此抛物线的解析式为()A．y＝12(x－2)2＋1B．y＝12(x＋2)2－1C．y＝12(x＋2)2＋1D．y＝－12(x＋2)2＋1C11．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．解：依题意设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k，将A(1，0)，B(0，3)代入得a＋k＝0，4a＋k＝3，解得a＝1，k＝－1.即抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋312．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4，∵二次函数图象过点B(3，0)．∴0＝4a－4，得a＝1.∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4(2)令y＝0，得(x－1)2－4＝0.解方程，得x1＝3，x2＝－1.∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)．∴二次函数图象向右平移1个单位后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，0)类型之三：利用平移规律求二次函数的解析式13．把抛物线y＝12x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为()A．y＝12(x＋1)2－3B．y＝12(x－1)2－3C．y＝12(x＋1)2＋1D．y＝12(x－1)2＋1B14．如图所示，已知抛物线y＝－2x2－4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F.求图象F所表示的抛物线的解析式．解：由平移知图象F的二次项系数为－2，y＝－2x2－4x＝－2(x＋1)2＋2，顶点坐标为(－1，2)，平移后图象F的顶点坐标为(1，2)，所以图象F的解析式为y＝－2(x－1)2＋215．已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，3)，B(－1，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)填空：要使二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移______个单位．258解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，3)，B(－1，0)，∴4a＋2b－3＝3，a－b－3＝0，解得a＝2，b＝－1，∴二次函数的解析式为y＝2x2－x－3(2)y＝2x2－x－3＝2(x－14)2－258，所以要使二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移258个单位