三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

-1-三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O是ABC的重心0OCOBOA;若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心.2．O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCtanOBBtanOAAtan3．O是ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA)若O是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4．O是内心ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131，O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;||||||0ABPCBCPACAPBP是ABC的内心;向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0则P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee和，又ACB1eC2eCP-2-APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点H是△ABC的垂心.由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（D）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,,同理所以P为ABC的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中GEGCGB连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心)(31PCPBPAPG.证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG∵G是△ABC的重心∴GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略））例6若O为ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由0OAOBOC得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则-3-AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEFOBOCOD，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP·2OP=21，同理2OP·3OP=3OP·1OP=21，∴|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即O是△ABC所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|点O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、由题设可设1324,)(,)2xQyHxy（、,122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,)BCxxy2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y-4-2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321=3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OCOBOAOH.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OHOG31证明按重心定理G是△ABC的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31.一、“重心”的向量风采【命题1】G是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC△的重心．如图⑴.A'GCAB【命题2】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.图⑴图⑵MPCBAO-5-【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的垂心．【解析】由PAPBPBPC，得()0PBPAPC，即0PBCA，所以PBCA⊥．同理可证PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图⑶.PABC【命题4】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心．【解析】由题意coscosABACAPABBACC，由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosABBCACBCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知I为ABC△所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa．若0aIAbIBcIC，则I是ABC△的内心．图⑶图⑷图⑸图⑹HFEMABCOPABCOPbacIACB-6-OCAB【解析】∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abcIAbABcAC，∵ABACbABcACACABABACACABABAC，∴bcABACAIabcABAC．∵ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AI与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是ABC△的内心，如图⑸.【命题6】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的内心．【解析】由题意得ABACAPABAC，∴当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC△的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的外心．【解析】若222OAOBOC，则222OAOBOC，∴OAOBOC，则O是ABC△的外心，如图⑺。【命题7】已知O是平面上的一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心。图⑺MOBCAP图⑻-7-【解析】由于2OBOC过BC的中点，当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC△的外心，如图⑻。补充练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点P一定为三角形ABC的（B）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式：2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC的（D）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C