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章末整合提升知识网络构建专题归纳整合计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理排列排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数:所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号𝐴nm表示排列数公式:𝐴nm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!全排列:𝐴nn=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1排列数的性质:𝐴nm=n𝐴n-1m-1=m𝐴n-1m-1+𝐴n-1m组合组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数:所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号𝐶nm表示组合数公式:𝐶nm=𝐴nm𝐴mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!组合数的性质:①𝐶nm=𝐶nn-m;②𝐶n+1m=𝐶nm+𝐶nm-1二项式定理二项式定理:(𝑎+𝑏)n=𝐶n0an+𝐶n1an-1b+𝐶n2an-2b2+…+𝐶nkan-kbk+…+𝐶nnbn(n∈N*)二项式的通项:通项公式Tk+1=𝐶nkan-kbk二项式系数:C𝑛𝑘二项式系数的性质对称性:𝐶nm=𝐶nn-m增减性与最大值二项展开式中各二项式系数的和等于2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n-1章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三专题一、两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理,它贯穿于全章学习的始终,体现了解决问题时将其分解的两种常用方法:把问题分类解决和分步解决,是本章学习的重点.从近几年的高考命题可看出,对两个计数原理的考查一般只在选择题、填空题中出现,且与排列、组合等知识综合命题,难度中等偏下,解答此类问题要注意分类讨论思想和补集思想的应用.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例1从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.6答案:B解析:先分成两类:(一)从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为C32×4=12;(二)从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为C32×2=6.故满足条件的奇数的总个数为12+6=18.xx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例2如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有().A.288种B.264种C.240种D.168种答案:B解析:首先给A,D,E三个点涂色有𝐴43=4×3×2=24(种),A,D,E颜色固定,当B与D,E涂色不同时,有3种涂法,A,D,E颜色固定,当B与D,E其中一个涂色相同时,有8种涂法,共有24×(3+8)=264(种).xx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例3甲组有5名男同学、3名女同学,乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有().A.150种B.180种C.300种D.345种答案:Dx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三解析:1名女同学可能是甲组的,也可能是乙组的,所以这名女同学的选法有两种情况,需分类解决.第一类,这名女同学是甲组的,有3种选法,再在甲组选出1名男同学,有5种选法,然后在乙组选出2名男同学,有15种选法,由分步乘法计数原理得选出的4人中恰有1名女同学的选法共有3×5×15=225(种).第二类,这名女同学是乙组的,有2种选法,再在乙组选出1名男同学,有6种选法,然后在甲组选出2名男同学,有10种选法,由分步乘法计数原理得选出的4人中恰有1名女同学的选法共有2×6×10=120(种).根据分类加法计数原理可得满足条件的选法共有225+120=345(种).故选D.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三专题二、排列、组合的综合应用1.排列与组合是两类特殊的计数问题,它还有一些较为独特的思考方法,应理解掌握.关于排列、组合问题,除以上所提到的方法外,有时还经常用到以下两种方法:(1)间接法,把不合条件的排列数或组合数剔除掉.(2)穷举法,把符合条件的所有排列或组合一一写出来.排列与组合具有“承上启下”的作用:它是计数原理的深化、提升,又是概率统计的基础.2.该内容还是每年高考必考内容.通常以选择题、填空题的形式考查,或在解答题中与概率、概率分布、统计相结合进行考查,难度多为中等.以实际问题为背景,以考查排列数、组合数为主,同时考查分类讨论、化归与转化等数学思想方法及解决问题的能力.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三3.排列、组合的区分界定排列与组合问题的唯一的标准是“顺序”,“有序”是排列问题,“无序”是组合问题.排列与组合问题并存的时候,解答排列与组合问题,一般采用先组合后排列的方法解答.4.“元素与位置”关系解答排列与组合问题,界定哪些事物是元素,哪些事物是位置至关重要,又没有唯一的固定标准,所以要辩证地去看待元素与位置.解题过程中,要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置,并灵活运用“捆绑法”和“插空法”,“直接法”和“间接法”.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三5.解排列、组合应用题的一般步骤解排列、组合应用题对思维能力要求较高,下面的步骤有助于帮助我们提高抽象思维能力.(1)分析题意.明确应把问题中的哪些具体对象看做元素(如人、物、数、图形等).分析是排列问题还是组合问题,还是排列、组合综合题(如是综合题一般需要先组合后排列,简称“先选后排”).分析完成这件事有几类办法,找到分类标准,做到不重不漏;执行各类办法时又分别需要进行几步才能完成事件.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三(2)选定解法.通常不含限制条件的排列、组合问题都可以直接求解;含有限制条件的排列、组合问题有直接法或间接法两种解法(其中分类法和排除法最为常用).但无论用直接法还是间接法,都要注意从不同角度,正、反两方面考虑同一问题,复习中要注意一题多解的训练.(3)列式求解.解答问题时要用恰当而准确的语言进行表述,以展示其问题求解的思维过程和所列算式的理论依据,以及必要的运算程序和最简结果.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三6.常见的解题策略常见的解题策略有以下几种:(1)特殊元素优先安排的策略;(2)合理分类和准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问题捆绑处理的策略;(6)不相邻问题插空处理的策略;(7)定序问题除法处理的策略;(8)分排问题直排处理的策略;(9)相同元素插入隔板处理的策略;(10)构造模型的策略.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例44个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有种.(用数字作答)答案:144解析:因有一个空盒,故必有一个盒子放两球.(1)选:从4个球中选2个球有C42种,从4个盒中选3个盒有C43种;(2)排:把选出的2个球看做一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒做全排列有A33种,故所求放法有C42C43A33=144(种).xx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例5从集合{x|-3≤x≤4,x∈Z}的元素中,任取三个不同数字作为二次函数y=ax2+bx+c的三个字母a,b,c,共能组成过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线的条数是().A.12A72B.C31A41+A32C.C31C41+A42D.A41A51+A42答案:Cx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三解析:依题意a≠0,c=0,且顶点-𝑏2𝑎,-𝑏24𝑎在第一象限或第三象限.(1)若在第一象限,则-𝑏2𝑎0,-𝑏24𝑎0,即𝑎0,𝑏0.①(2)若在第三象限,则-𝑏2𝑎0,-𝑏24𝑎0,即𝑎0,𝑏0.②集合中有3个负数4个正数,满足①的有C31C41种;满足②的有A42种,故共有符合题意的抛物线的条数为C31C41+A42.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例6有五张卡片,它们的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?答案:432解析:解法一:(间接法)任取三张卡片可以组成不同三位数C53·23·A33个,其中0在百位的有C42·22·A22个,这是不合题意的,故共有不同三位数:C53·23·A33−C42·22·A22=432(个).解法二:(直接法)(用位置分析法)第一类:0与1卡片放首位,可以组成不同三位数有C42·22·A22=48(个);第二类:0与1卡片不放首位,可以组成不同三位数有(C41·2)(C42·22·A22)=8×48=384(个).故共有不同三位数48+384=432(个).xx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三专题三、二项式定理的应用1.二项式定理是组合思想方法的具体应用,要体会理解这一定理的组合方法的证明,掌握二项展开式的通项公式及二项式系数的性质.2.从近几年的高考试题可知,对本专题的考查主要是:二项展开式的通项、二项式系数、展开式系数等知识,题型多以选择题、填空题的形式出现,难度为低、中档.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三3.二项式定理问题的处理方法和技巧:(1)运用二项式定理一定要牢记通项公式Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*),注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念,前者只指C𝑛𝑟,而后者是除字母外的部分.(2)求展开式所有项(或部分项)的系数和,可采用“赋值法”.(3)关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”:构造二项式或构造同一问题的两种算法.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三(4)证明不等式时,应注意结合分析法或放缩法.(5)有些三项展开式问题可采用“化归”变形为二项式问题;有时也可以通过组合解决,但要分类清楚,不重不漏.(6)近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.(7)用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,结合整除的有关知识来解决.章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例7已知𝑎𝑥-𝑥29展开式中x3的系数为94,则常数a的值为.答案:4解析:Tr+1=C9𝑟(-1)r·2-𝑟2·a9-r·𝑥3𝑟2-9.令3𝑟2-9=3⇒r=8.令(-1)8C892-82a=94,解得a=4.xx章末整合提升知识网络建构专题归纳整合专题一专题二专题三例8如果今天是星期一,那么1090天后的第一天是星期几?解:由于1090=10045=(7×14+2)45,又245=(23)15=(7+1)15,可见1090被7除的余数是1,所以1090天后的第一天是星期二.例9若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C),求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值.解:令x=1,得a0+a1+…+a10=25;令x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65.两式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a