【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件：2.2.1

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天，我们就来认识一些基本的证明方法……1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的综合法.（重点）2.了解综合法的思考过程、特点.（难点）探究点1综合法的含义引例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+a2≥2ac,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…例1:如图所示,△ABC在平面α外,求证:P,Q,R三点共线..,,RACQBCPABABCPQR探究点2利用综合法进行证明分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面的公理证明.因为AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R所以P，Q，R∈αP∈AB，Q∈BC，R证明：∈AC.（1）（2）由（2）得P，Q，R∈平面ABC因此P，Q，R是平面ABC与平面α的公共点.因为两平面相交有且只有一条交线，所以P，Q，R三点在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线.·222ΔABC例2在ΔABC中,设CB=a,CA=b,1求证:S=|a||b|-(ab)22,,,,.1cossin.2sin1cos.·ABCCBaCAbABCCBaCAbCabababCSabCCC由条件可得中角为向量与的夹角于是可以想到和利用经适当转化就可析：以获得结论分证明：ABC1bSbsinCcosC2brrrrrr因为，，aaa22222222222221411411414sincos)()ABCSCC所以（）（ababababababab222ABC1Sb(b)2rrrr于是aa例3在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为a，b，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①CBAABCCBA的内角，所以为，，因为由①②，得②3B③由a，b，c成等比数列，有acb2④由余弦定理及③，可得accaBaccab22222cos2再由④，得因此a=c从而有A=C⑤由②③⑤，得3CBA所以为等边三角形.ABC即0)(2ca0222）即（caacacca【提升总结】解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.1.综合法证明不等式所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件A2.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(1)a2＋b2＋c2≥13；(2)a＋b＋c≤3.分析：(1)构造a2＋19，b2＋19，c2＋19，再分别利用基本不等式；(2)构造a·13，b·13，c·13，再利用ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)求解．证明(1)因为a2＋19≥2a3，b2＋19≥2b3，c2＋19≥2c3，所以a2＋19＋b2＋19＋c2＋19≥23a＋23b＋23c＝23(a＋b＋c)＝23.(当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”)所以a2＋b2＋c2≥13.(2)因为a·13≤a＋132，b·13≤b＋132，c·13≤c＋132，三式相加得a3＋b3＋c3≤12(a＋b＋c)＋12＝1.(当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”)所以a＋b＋c≤3.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE.(2)证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD所以AB⊥PD，又因为AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.PAADA利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…综合法的定义:拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难确定现在的准确时间.