解直角三角形的应用

--1题11．倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．12．海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？13．两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．14．某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？15．如图，自卸车车厢的一个侧面为矩形ABCD，AB=3m，BC=0.5m，车厢底部距离地面1.2m，卸货时，车厢倾斜的角度为60°，问此时车厢的最高点距离地面多少米（精确到1m）．18．（包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度;（2）试说明该车是否超过限速．--2参考答案11．在Rt△ABC中，AC=2m，∠ABC=30°，∴tan∠ABC=32,3ACBCBC，BC=23m．12．如图．过M作MN⊥BC于N，设MN=x，则CN=x，在Rt△BMN中，tan30°=3,310MNxBCCNx，x=5（3+1）．∵5（3+1）8，∴船继续向东航行无触礁危险．13．过C作CE⊥AB于E．在Rt△ADB中，BD=45m，∠ADB=60°，∴AB=453（m）．在Rt△ACE中，CE=45m，∠ACE=30°，∴tan∠ACE=AECE，∴AE=153（m）．∴CD=AB-AE=453-153=303（m）．14．如图．由∠ADB=30°，AB=18m，∴BD=183m，∴CD=183-24（m）．又∵△CDE∽△BDA，∴18324,18183CDCECEBCAB，∴CE=18-83（m）．故此楼落在后楼的影子高为（18-83）m．--3（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x．则18x=3，x=183（m）．故两楼之间的距离应当为183m．15．∵AB=CD=3m，∠DCF=60°，∴DF=DC·sin60°=3×32=332m．在Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD=BC=0.5m．∴AH=AD·sin30°，∴AH=14m．∴AG=14+332=1634（m）．∴A距地面的距离为1634+65，即2930320≈4（m）．故此时车厢的最高点A距离地面4m．18．（1）在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25×tan60°=253m，在Rt△BOC中，BC=OC．tan∠BOC=25×tan30°=2533m，∴AB=AC-BC=5033（m）．∴小汽车从A到B的速度为5033÷32=10039（m/s）．（2）∵70km/h=701000175/36009msm/s，又∵10039≈173.217599，∴小汽车没有超过限速．--4例1.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。解：在中，RtABHBHAHtan45在中，RtACHCHAHtan30AHAHtantan45301000AH5003500300不会穿过例2.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。解：（1）在A处放置测倾器，测得点H的仰角为α在B处放置测倾器，测得点H的仰角为β（）在中，2RtHAIAIHIDIHIAIDImtantanABHC--5HImtantantantanHGHIIGmntantantantan例3.某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。例7如图1，在ABC中，AD是BC边上的高，tancosBDAC。（1）求证：AC＝BD（2）若sinCBC121312，，求AD的长。图1分析：由于AD是BC边上的高，则有RtADB和RtADC，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解：（1）在RtABD中，有tanBADBD，RtADC中，有cosDACADAC解：在中，RtABCBCABtan45在中，RtABGBGABtan60ABABtantan60458AB443AC4246--6tancosBDACADBDADACACBD，故（2）由sinCADAC1213；可设ADxACBDx1213，由勾股定理求得DCx5，BCBDDCx121812即x23AD12238例8.如图2，已知ABC中CRt，ACmBAC，，求ABC的面积（用的三角函数及m表示）图2分析：要求ABC的面积，由图只需求出BC。解：由tanBACBCACBCACBACACmBACBCmSACBCmmmABCtantantantan，1212122例9.如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。--7从AC上的一点B，取ABDBD145500，米，D55。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）A.50055sin米B.50055cos米C.50055tan米D.50055cot米图3分析：在RtBED中可用三角函数求得DE长。解：A、C、E成一直线ABDDBED1455590，，在RtBED中，coscosDDEBDDEBDD，BD500米，D55DE50055cos米，故应选B。例10.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01.）（如图4）图4--8参考数据：sin..cos..sin..cos..sin..cos..sin..cos..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322，，，，分析：（1）由图可知ABO是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要t小时才能追上。则ABtOBt2426，（1）在RtAOB中，OBOAAB222，()()261024222tt则t1（负值舍去）故需要1小时才能追上。（2）在RtAOB中sin.AOBABOBtt242609231AOB674.即巡逻艇沿北偏东674.方向追赶。例11.如图5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。图5--9（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：1测量数据尽可能少；2在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用、、等表示，测倾器高度不计）。（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）。分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。解：如图5（1）测三个数据。（2）设HGx在RtCHG中，CGxcot在RtDHM中，DMxn()cotxxncot()cot，即xncotcotcot1.测量底部不可以到达的物体的高度，可以按下列步骤进行：（如图所示，以测量MN的高度为例）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE。②在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与N在一条直线上），测得此时M的仰角MDE。③量出测倾器的高度ACBDa，以及测点A、B之间的距离AB=b。（1）根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。（2）若30600150，，，ambm.，试计算MN的高度。2.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？MCDEABN--10NPAQM3.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案。甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。4.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水价格。参考答案1.解：（）1MNbatantantantan（）225301MN.2.解：1008030sin1APAPAPBRt中，）在（会影响NBDPAQM10030o160（）在中（米）2100806022RtABDBD--116023610006022.（分钟）分钟3.解：yx甲9yx乙85000当时选乙时选甲时一样xxx5000500050004.解：设去年x元，今年43x元1530435xxx15.432x答：今年用水价格2元。关于坡角【例1】（2005年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路B