张量分析(邵爽)

张量分析203:29主要内容1基矢张量正交变换2二阶张量及其若干基本运算法则303:291基矢张量正交变换1.1字母标号1.2求和标号求和约定1.3自由标号1.4克罗内克尔代尔塔ij1.5排列(置换)符号1.6余弦变换矩阵403:291.7一阶基矢及其坐标变换1.8一阶张量——不变量1.9二阶基矢及其坐标变换1.10二阶张量——不变量1.11张量的记法1基矢张量正交变换(续)503:291.1字母标号为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的各个分量。例如将x,y,z写成x1,x2,x3,用xi(i=1,2,3)表示；用表示；位移ui；应力ij；应变ij；,,,,,321eeekji)3,2,1(ieiixgrad603:29在同一项中，重复出现两次的字母标号，称为求和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3时所得的各项之和，这就是求和约定。例如求和标号又称“哑标”或“伪标”。1.2求和标号求和约定332211332211332211aaaababababababababaiiiiijijii703:29求和标号已不是用以区分该标号所表示的各个分量，而是一种约定的求和标志，因此可选用任何字母而不会改变其含义；亦即求和标号可任意变换字母，如kkiikikjijjjiidxdxbabababa,,803:29如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约定，如zyxii332211(求和约定)其中(不求和)zyx332211,,另外应写成，不能写作，因为后者的标号重复了4次。两矢量的点乘积应写成))((zyxzyxjjiiiiiijjiieBeABA903:29同一项内不重复出现的标号，叫做自由标号。可取1,2,3。如ij表任一个应力分量。同一方程中，各项自由标号应相同，而且应理解(约定)为该方程对自由标号的约定域均成立。如ai=bijcj为下列方程的缩写1.3自由标号333232131332322212123132121111cbcbcbacbcbcbacbcbcba1003:29下列方程组ijijbxa同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时改变。333323122322211131211bzayaxabzayaxabzayaxa1103:29ij表九个量，并规定jijiij,0,1克罗内克尔代尔塔(Kronecker)。它与另一个带字母的量(包括自身)相乘时，将该量中的求和标号丢掉而用ij中的另一标号代入。因此1.4克罗内克尔代尔塔ij1203:29①imkmjkijikjkijjjiiijijor3)((a)iiijijaa(b)jijijijijaa)((c)jjkiikjkijaaaa(c)式可用于改变标号的字母，如1303:29②因为aii=ajj=ajkjk，则③对于点的坐标xi有④有如下关系上式亦可作为ij的定义。jkjkiiaa(d)ijjijixxx,(e)ie(f)ijjiee1403:29⑤设为笛卡尔坐标系的基矢，为该坐标系转动后的基矢，令ieiejikjkiijkjkillll(g)jijilee为和夹角的余弦；则可证明jiljeie1503:291.5排列(置换)符号①排列(置换)符号的定义当i,j,k按1,2,3顺序时(顺循环)011ijkeeijk有27个量，其中6个不为零。其标号中，每相邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次，它将改变正负号。如当i,j,k按3,2,1顺序时(逆循环)当i,j,k有重复标号时(非循环)1603:29根据叉积的定义，有kjijkijkijikijkeeeee)(ie当i,j,k为顺循环0kkjieeee当i,j,k为逆循环当i,j,k为非循环kijkjieeee1703:29易证kijkjijjiieeBAeBeABA上式亦可作为eijk的定义。jikijkeeABBAijkkjieeee)(1803:29②eijk–ij恒等式根据行列式的运算法则，可得注意，上面第一式中行序号为顺循环，第二式中列序号为顺循环。因此当原行列式中的行或列任意调换位置时，所得新行列式值为ijkkjiijeaaaaa321||(按行展开，共六项)ijkiiiijeaaaaa321||(按列展开，共六项)或1903:29或因为，据ijktksjrirsteaaaaeaijkitisirrsteaaaaeatktksjsjririeeeeee,,zyxzyxzyxCCCBBBAAACBA)(则有321321321)(kkkjjjiiikjiijkeeee2003:29上式行列式中，列序号为顺循环；若将其中的列任意变换位置，所得到的新行列式为rstijkrstktkskrjtjsjritisireee由此可得eijk和ij的关系为)()()(jsitisjtkrisktitksjrksjtktjsirrstijkee2103:29当i=r时，得到由上式又可得ksjtktjsistijkeektijtijkee2!36ijkijkee2203:29联立求解或ijktksjrirsteaaaaeaijkitisirrsteaaaaea!36ijkijkee得rstijkitisireeaaaa62303:291.6余弦变换矩阵设及分别为笛卡尔系，则AieAjeABijABijBjAiCee:cos为与间的夹角。表为“定义为”；共九个分量。于是有ABijAieAjeABijCBAjiABijAjBAijBiBjABijAiCCeCeeCe2403:29若将排成矩阵，称为余弦变换矩阵；而据上式应有ABijCTBAijABijCC][][因为，则有(板书演示)ijAjAieeijBAkjABikCC][ABijC或][]][[ICCBAijABijTBAijABijCC][][根据，可见2503:29余弦变换矩阵为正交矩阵。故这种余弦变换又称正交变换。又1][][ABijTABijCC1]det[ABijC]det[)]][det([ICCTABijABij1])(det[2ABijC2603:29当时，称为正常(或正向)正交矩阵；当时，称为非正常(或负向)正交矩阵。[Q1]和[Q2]均为正交矩阵，并设[Q]=[Q1]·[Q2]，则][][]][][[]][[1221IQQQQQQTTT正交矩阵之积仍为正交矩阵。1]det[ABijC1]det[ABijCijjiijjieexexxr)(2703:291.7一阶基矢及其坐标变换A.笛卡尔坐标系的基矢笛卡尔坐标系内点的坐标xi，其基矢为。当坐标为固定坐标系时，是不因xi和时间而改变的矢量，且。笛卡尔坐标系内点的位置矢为ieiiexrie1||ie于是ijijjijijjieeexxexxr,)(2803:29可将上式作为坐标系基矢的定义。基矢乃是与坐标线相切并指向坐标线正向的矢量。显然，笛卡尔坐标系的基矢为没有量纲的单位矢量。ijijjijijjieeexxexxr,)(2903:29B.正交曲线坐标系的基矢)(irriiirg)(设i表曲线坐标，在曲线坐标系内，点的位置矢为于是，曲线坐标的基矢为不一定是单位矢量，同时因i的量纲不一定是长度，因此，不一定是无量纲量。igig3003:29则，且为无量纲量，其方向随坐标i而变，即。i表它即不是和i重复(求和标号)，也不是独立存在(自由标号)，而是同i一道变化的可称随从标号。于是设以Hi表的模(量纲与同)，即拉梅(Lame)系数。令)(iibb||iigHigigiiibHg1||ibiiirHb13103:29称为正则化的基矢(以后简称基矢或物理标架)。对于正交曲线坐标，它也是正交单位矢量，故有ijkkjikijkjiijjiebbbbebbbb)(和称为一阶基矢。iiirHb1ibieib3203:29C.一阶基矢的坐标变换BjABijAieCe}]{[}{BiABijAieCea.笛卡尔坐标系基矢的变换已知其矩阵形式为称为余弦变换矩阵。求上式的逆，得][ABijC}]{[}{][}{][}{1AiBAijAiTABijAiABijBieCeCeCe或AjBAijBieCe3303:29以上各式称为一阶基矢和之间的一阶余弦变换，简记为AieBiCAiee1Bie3403:29例，笛卡尔坐标系A和B，由图可见AAABBBeeeeee321321100010001Aex22Aex33Aex11Bex22Bex33Bex113503:29则100010001][BAijC因1100010001][BAijC为非正常正交矩阵。3603:29b.正交曲线坐标系与笛卡尔坐标系基矢的变换jijiiiiexHrHb11已知jjexrDCjiCDijCDijjiCCeb:cos设故有jCDijieCbiijCDijHxC3703:29角标C——曲线坐标，D——笛卡尔坐标。因亦为正交单位矢量，故易证明iCibe1TCDijCDijDCijCDijjkCDikCDijCCICCCC][][][]][[1ib为正交矩阵。亦有][CDijC3803:29例，圆柱坐标系如图示，同时标出笛卡尔坐标系。此处),,()(zri33ex11ex22ex3b2b1b3903:29由图可见zxrxrx321sincos2132111sincos)sincos(eeezererrrg2111sincos,1eebH4003:29)cossin()sincos(2132122eerezererrg2122cossin,eebrH33333,1ebHeg4103:29于是32132110000eeeCSSCbbb故10000CSSCCCDij4203:29一阶基矢的性质：①线性独立。设0iibA②与标量之积服从交换定律。设k为标量，则③服从一阶余弦变换或0iieA，则3,2,1,0iAikeekiiBiCAiee1iCibe14303:29设有一系列不同的