第6章动态电路的复频域分析1

“十一五”规划教材—电路基础第六章动态电路的复频域分析6.1拉普拉斯变换及其性质6.2拉普拉斯反变换6.3电路基本定律及电路元件的复频域形式6.4应用拉普拉斯变换分析动态电路6.5网络函数6.6固有频率“十一五”规划教材—电路基础在前面的时域分析中，是采用经典法求电路的响应。当阶数高于二阶时，用经典法列写微分方程、求初始条件，解微分方程都变得比较复杂。如果利用数学中的拉氏变换将时域问题变换为s复频域问题，即微分方程化为复频域的代数方程可使动态分析不必列写微分方程、求初始条件，而得到所需的响应。这种方法称为运算法。拉普拉斯变换在线性动态电路中的应用“十一五”规划教材—电路基础微分方程动态电路KCL、KVL、VCR经典法解初值、终值、时间常数一阶三要素运算电路、t0-时刻的值代数方程求解并拉氏反变换KCL、KVL、VCR拉氏变换拉氏变换是研究线性时不变网络的非常重要和有效的工具。“十一五”规划教材—电路基础§6.1拉氏变换的定义和性质拉氏变换F(s)=ℒ[f(t)]0()stftedt原函数象函数拉氏反变换f(t)=ℒ-1[F(s)]1(),02jstjFsedstjsj复频率一一对应设时域函数f(t)在区间[0，∞)内的定积分为()stftedt-0由此积分确定的复频域函数可表示为“十一五”规划教材—电路基础22sssintet22()scostet22()ss()cossinttbaetet22()asbs2cos()tKKet()KjKKeKKsjsj8cost9101112“十一五”规划教材—电路基础6.1.2拉普拉斯变换的基本性质及电路元件的复频域形式一、线性性质及其应用基尔霍夫定律1()0nkkit1()0mkkut1()0nkkIs1()0mkkUs复频域形式ℒ[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1ℒ[f1(t)]+a2ℒ[f2(t)]=a1F1(s)+a2F2(s)电阻器特性方程()()utRit复频域形式()()UsRIs()it()utR()Is()UsR时域模型s域模型“十一五”规划教材—电路基础例：求tettf243)(的象函数]43[2tet][t34][2te)2(634243222ssssss“十一五”规划教材—电路基础二、微分性质及其应用若ℒ[f(t)]=F(s)，则()dftdt()(0)sFsfℒ[]拉氏变换的微分性质表明，时域中的求导运算，对应于复频域中乘以s的运算，并以f(0-)计入原始值()()nft12(1)(1)()(0)(0)(0)nnnnsFssfsff1(1)0()(0)nnknkksFssfℒ[]推广：“十一五”规划教材—电路基础()()CCdutitCdtC()Cit()Cut()()(0)CCCIsCsUsCuCs()CIs()CUs(0)CCv电容器特性方程及其复频域形式与等效模型运算容纳=0()dftdt()(0)sFsfℒ[]()()LLditutLdtL()Lit()Lut()()(0)LLLUsLsIsLiLs()LIs()LUs(0)LLi电感器特性方程及其复频域形式与等效模型运算感抗=0附加电流源附加电压源“十一五”规划教材—电路基础积分性质及其应用0()[()]tFsfdsℒ（ℒ）[()]()ftFs01()()(0)(0)1()()tCCCCCCutitdtuCuUsIsCss()CIs()CUs(0)Cus1Cs电容器特性方程及其复频域形式与等效模型01()()(0)(0)1()()tLLLLLLitutdtiLiIsUsLss()LIs()LUs(0)Lis1Ls电感器特性方程及其复频域形式与等效模型从微分和积分性质可看出，在应用拉氏变换时，直接用时域中的0-时的原始值，而不必考虑0+时的初始值。“十一五”规划教材—电路基础1.电容元件电压电流关系的复频域形式复频域诺顿模型时域模型复频域戴维南模型附加电压源附加电流源()()(0)CCCIssCUsCususIsCsUCCC)0()(1)(1/sC具有电阻的量纲，称为运算容抗sC称为运算容纳()Cit()CutC()CIs()CUs(0)Cus1sC()CIs()CUs(0)CCusC“十一五”规划教材—电路基础2.电感元件电压电流关系的复频域形式dttdiLtuLL)()(sisUsLsILLL)0()(1)(()()(0)LLLUssLIsLi复频域诺顿模型时域模型复频域戴维南模型sL具有电阻的量纲，称为运算感抗1/sL称为运算感纳()Lit()LutL()LIs()LUs(0)LLisL()LIs()LUs(0)Lis1/sL“十一五”规划教材—电路基础3.耦合电感元件电压电流关系的复频域形式dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu12222()ut2()it1()it1()utM2L1L(a)时域模型111222()()/()()/utLMditdtutMLditdt复频域形式为1111122222()()(0)()()(0)UsLMIsLMisUsMLIsMLi(b)复频域模型1()Us2sL22(0)Li2()Us2()IssM1sL11(0)Li2(0)Mi1()Is1(0)Mi“十一五”规划教材—电路基础若用倒电感矩阵表示耦合电感元件11112112212222()()(0)11()()(0)LLLLLLIsUsiIsUsiss(a)时域模型(b)复频域模型2()ut2()it1()it1()ut122122111()Us2()Us2()Is1()Is12s11s22s1(0)Lis2(0)Lis“十一五”规划教材—电路基础+_Us+_sUsIssIs+_+_22sincosmsUssin()mUt+_+_21()()UsUs21uu“十一五”规划教材—电路基础四、时移性质若ℒ[f(t)]=F(s)，则seℒ[f(t-)]=F(s)拉氏变换的时移性质表明，若原函数在时间上推迟(即其图形沿时间轴向右移动)，则其象函数应乘以延时因子e-s例6.1.7图示单个矩形脉冲波形f(t)，其幅度为A，试求f(t)的拉氏变换F(s)。()[()()]ftAtatb解：矩形脉冲f(t)可表示为()ftOtabA“十一五”规划教材—电路基础故根据时移性质，有()ftOtabA()Fsℒ[])(tfA)]()([btatℒ)(bsaseesA)()()(tettft)3()3(ttf的象函数例6.1.8已知求解：故根据时移性质，有31[(3)(3)]1sfttes()Fs“十一五”规划教材—电路基础五、频移性质若ℒ[f(t)]=F(s)，则()teftℒ[]=F(s-α)拉氏变换的频移性质表明，若原函数乘以指数因子et,则其象函数应位移（即其图形沿实轴向右移动）。例6.1.9试求及的拉氏变换。sintetcostet根据频移性质可求得解：22[sin]ts22[cos]stsℒℒ22[sin]()tetsℒ22[cos]()tsetsℒ“十一五”规划教材—电路基础六、初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且存在，则lim()ssFs(0)lim()sfsFs若ℒ[f(t)]=F(s)，且存在，则lim()tft0()lim()sfsFs七、终值定理利用初值定理和终值定理，可以不经过反变换而直接由象函数F(s)来确定原函数f(t)的初值和终值。“十一五”规划教材—电路基础例6.1.10：312531)()0(2limlimssssFfss21)23)(1(1)()(limlim00ssssFfss解：根据初值定理)23)(1()(ssssF求原函数f(t)的初始值f(0+)已知)23)(1(2)(ssssF求原函数f(t)的终值f()已知根据终值定理“十一五”规划教材—电路基础例：在象函数反变换之前可用来校验是否正确+_RCSUs+_U0000lim()lim()lim()lim()CCtsCCstsutsUsUutsUsU01()()1sCsUUsUUssRC“十一五”规划教材—电路基础卷积定理与零状态响应1()Fs()Hs()()HsFs()Ns()t()ft()ht0()*()()()thtftfhtdN一个线性电路对任意激励f(t)的零状态响应等于激励函数f(t)和该电路的冲激响应h(t)的卷积。[()*()]()()fthtFsHsℒ网络函数网络函数取决于网络拓扑及元件参数[()()]()*()()FsHsfthtytℒ-1便可得到待求响应“十一五”规划教材—电路基础)()()(thtftZ142)12)(31()()()(ssssSHSFSZ)(4)(2)(tettZt例：已知某网络的的冲激响应为)(2)(tetht求该网络在激励)(3)()(tttf作用下的零状态响应解:“十一五”规划教材—电路基础6.2拉普拉斯反变换11101110...()()()...mmmmnnnnbsbsbsbPsFsQsasasasa拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。拉普拉斯反变换的定义：拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。（适用于有理式）设F(s)可以表示为如下的有理分式，m和n为正整数。jjstdseSFjtf)(21)(“十一五”规划教材—电路基础①展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）若mn称有理函数是真分数式()()()()()()PsBsFsAsQsQs若mn则将F(s)分解为一个s多项式和一个真分式之和其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一个多项式，其对应的时间函数是(t)，(1)(t)，(2)(t)等的线性组合。B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，则B(s)/Q(s)为真分式“十一五”规划教材—电路基础所以F(s)对应的原函数为3251016()3sssFss322510164()2433sssFsssss(2)(1)3()()2()4()4tftttte例6.2.1试求的原函数。解：将F(s)真分式化得“十一五”规划教材—电路基础设：F(s)为真分式，并将分母多项式Q(s)用因式连乘的形式来表示，即：111011101...()1()()()...()mmmmnnnnnnjjbsbsbsbPsPsFsQsasasasaasp如果pj(j＝1，2，…，r)是Q(s)的r重根，则称pj为F(s)的r阶极点。pj(j=1，2，…，n)为方程Q(s)=0的根，称为Q(s)的零点。当spj时，F(s)，所以pj也称为F(s)的极点。若pj是多项式Q(s)的单根，则称pj为F(s)的单极点。“十一五”规划教材—电路基础6.2.2单极点有理函数的拉氏反变换F(s)的极点均为单极点时，F(s)的部分分式展开式为12112()()()njnj