高中数学-数列中的奇偶项问题教学用

1数列中的奇偶项问题题型一、等差或等比奇偶项问题(1)．已知数列na为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为___5_____(2)．等比数列na的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为____8___(3)．已知等差数列na的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为__11_______；项数为_____7________题型二、数列中连续两项和或积的问题（1nnaafn或1nnaafn）1、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列na是等和数列，且12a，公和为5，那么18a的值为____3____，这个数列的前n项和nS的计算公式为_**5,=2,251,21,22nnnknNSnnkkN__________________2、若数列na满足：11a，14nnaan，则数列21na的前n项和是___21nn___3、若数列na满足：11a，14nnnaa，则na的前2n项和是__5413n_________4、已知数列na中，11a，11()2nnnaa，记nS为na的前n项的和，221nnnbaa，Nn．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}nb是否为等比数列，并求出nb；2（Ⅲ）求nS.答案：（1）12*2*1,=21,21,2,2nnnnknNankkN（2）132nnb5、（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19）已知数列na满足*143nnaannN.（1）若数列na是等差数列，求1a的值；（2）当12a时，求数列na的前n项和nS；解析：（1）若数列na是等差数列，则1111,nnaandaand.由143nnaan，得11143andandn，即124,23dad，解得，112,2da.（2）由*143nnaannN，得*2141nnaannN两式相减，得24nnaa所以数列21na是首项为1a，公差为4的等差数列.数列2na是首项为2a，公差为4的等差数列,由2111,2aaa，得21a，所以2,25,nnnann为奇数为偶数①当n为奇数时，12,23nnanan.123nnSaaaa3123421nnnaaaaaaa11411219411222nnnnn22352nn②当n为偶数时，123nnSaaaa123411947nnaaaaaan2232nn.6、（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列na，nb中，已知10a,21a,11b,212b，数列na的前n项和为nS,数列nb的前n项和为nT,且满足21nnSSn，2123nnnTTT，其中n为正整数.(1)求数列na、nb的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使121nmnTmbTm成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对,mn，若不存在，请说明理由.45题型三、含有1n类型1、已知1123456..........1nnSn，则173350SSS___1__________2、数列na满足1(1)21nnnaan，则的前60项和为___1830_____3、数列{}na前n项和为nS，11a，22a，211nnnaa，*nN，则100S__2600____4、已知数列na的前n项和为nS，112nnnnSa，*nN，则123100..........SSSS__10011132__5、（江苏省盐城市2018届高三第一学期期中，19）已知数列}{na满足11a，21a，且*22(1)()2nnnaanN.（1）求65aa的值；（2）设nS为数列}{na的前n项的和，求nS；（3）设nnnaab212，是否存正整数,,()ijkijk，使得kjibbb,,成等差数列？若存在，求出所有满足条件的kji,,；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，当n为奇数时，nnaa212；当n为偶数时，nnaa232.…2分又11a，21a，所以49,23;41,216453aaaa，即265aa.…4分（2）①当2nk时，21321242()()nkkkSSaaaaaa131(1())1(1())22131122kk312[()()]422kk22312[()()]422nn.……6分②当21nk时，22nkkSSa13132[()()]4()222kkk11313()2()422kk1122313()2()422nn.………8分所以，*2211*22312()2()4,,,22313()2()4,,22nnnnnnnNSnnN为偶数为奇数……9分（3）由（1），得1121231022nnnnnbaa…（仅10b且nb递增）.…106分因为kj，且,kjZ，所以1kj….①当2kj…时，2kjbb…，若kjibbb,,成等差数列，则1111231312222222jjjjijkjjbbbbb„11137104242jj，此与0nb…矛盾.故此时不存在这样的等差数列.………12分②当1kj时，1kjbb，若kjibbb,,成等差数列，则11131312222222jjjjijkjjbbbbb111331()()2222jj，又因为ij，且,ijZ，所以1ij„.若2ij„，则2ijbb刡，得1133133131()()()()222222jjjj„，得3331()5()022jj?，矛盾，所以1ij=.从而112jjjbbb，得11223131312222222jjjjjj，化简，得231j，解得2j=.……15分从而，满足条件的kji,,只有唯一一组解，即1i，2j，3k.……16分题型四、含有2na、21na类型1、(2017.5盐城三模11)．设数列na的首项11a，且满足21212nnaa与2211nnaa，则20S2056．2、（镇江市2017届高三上学期期末）已知Nn，数列na的各项均为正数，前n项和为nS，且2121aa,，设nnnaab212．（1）若数列nb是公比为3的等比数列，求nS2；（2）若)(1232nnS，数列1nnaa也为等比数列，求数列的na通项公式．解：（1）112123baa，21234212()()......()nnnSaaaaaa123(13)3(31)132nnnbbbL（2）因数列}{1nnaa为等比数列，设公比为q，则当2n≥时，1111nnnnnnaaaqaaa.7即21{}na，2{}na是分别是以1，2为首项，公比为q的等比数列；故3aq，42aq.令2n，有412341229Saaaaqq，则2q.当2q时，1212nna，12222nnna，121232nnnnbaa，此时21234212123(12)()()()3(21)12nnnnnnSaaaaaabbb.综上所述，1222,2,nnnnan当为奇数当为偶数.3、【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知数列na满足*1221212221,2,2,3,()nnnnaaaaaanN.数列na前n项和为nS.(Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）若12mmmaaa，求正整数m的值；（Ⅲ）是否存在正整数m，使得221mmSS恰好为数列na中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.(121)2(31)31231mmmmm，221221213mmmmmSSaSS2122(1)331mmm，故若221mmSS为na中的某一项只能为123,,aaa，①
若2122(1)3131mmm无解；94、（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}na各项均为正数，11a,22a，且312nnnnaaaa对任意*nN恒成立，记na的前n项和为nS．（1）若33a，求5a的值；（2）证明：对任意正实数p，221nnapa成等比数列；（3）是否存在正实数t，使得数列nSt为等比数列．若存在，求出此时na和nS的表达式；若不存在，说明理由．解：（1）∵1423aaaa，∴46a，又∵2534aaaa，∴54392aa；·······································2分（2）由3121423nnnnnnnnaaaaaaaa，两式相乘得2134123nnnnnnnaaaaaaa，∵0na，∴2*42()nnnaaanN，从而{}na的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,qq，则1122222nnnaaqq，1121111nnnaaqq，······································5分10又∵312=nnnnaaaa，∴42231122aaqaaq，即12qq，···························································6分设12qqq，则2212223()nnnnapaqapa，且2210nnapa恒成立，数列221{}nnapa是首项为2p，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p，则数列221{}nnaa是首项为3，公比为q的等比数列，∴22212223213,1()()()3(1),11kkkkkkkqSaaaaaaqqq，12122132,13(1)2,11kkkkkkkqqSSaqqqq