工程力学3

第四章平面任意力系概述平面任意力系是指各力的作用线在同一平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面一般力系4.1力的平移若将力从轮的边缘平移到O点,将改变其对轮的作用效应.作用在刚体上力的F，可以平移到其上任一点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩对于原力F对新作用点之矩。即：M=M0（F）.力偶的转向与原力对新作用点之矩的转向相同.OFOF'F''hFoM=FhF为了了解偏心力F对立柱的作用效果，将F平移到轴线上，可以容易的看出立柱的变形情况将F平移到B点，梁的变形发生了改变。应用实例但是，一般说来，在研究变形问题时，力是不能移动的。例如:4.2平面任意力系向一点简化F1F2F3OyxOF1/M1F2/M2F3/M3=xOR/Moy=332211FFFoooMMMMMM平面任意力系平面汇交力系平面力偶系R′=∑F′=∑FM0=∑M0=∑M0(F)1、平面任意力系向O点简化：合力R′—原力系的主矢，通过O点。合力偶矩M0—原力系对于O点的主矩xOMoyR结论：平面一般力系向其作用平面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，作用于简化中心,等于原力系各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩。等于原力系中各力对简化中心之矩之和.注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。主矢、主矩共同作用等效于原力系22YXRRRXXXXXXXRnnX2121YRY22YXRXYRRTanXYM0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)主矢的解析表达法同理：2、对简化结果进行讨论（1）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形R′=0，M0≠0此时原力系只与一个力偶等效，这个力偶就是原力系的合力偶（2）平面任意力系简化结果是一个力的情形R′≠0，M0=0此时原力系只与一个力等效，这个力就是原力系的合力R′≠0，M0≠0由力的等效平移的逆过程可知，这个力和力偶可以合成为一个合力情况向O点简化的结果力系简化的最终结果分类主矢R′主矩MO（与简化中心无关）3R0MO=0合力R=R，作用线过O点。2R'=0MO0一个合力偶，M=MO。1R′=0MO=0平衡状态（力系对物体的移动和转动作用效果均为零）。4R′0MO0一个合力，其大小为R=R，作用线到O点的距离为h=MO/R'R在O点哪一边，由MO符号决定平面力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。（3）、平面任意力系平衡的情形R′=0，M0′=0则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论例1主矢：主矩：合力：固定端约束4.3平面任意力系的平衡条件'110()0nRiinOOiiFFMMF平衡条件：平衡方程的基本形式：力系的主矢和对任一点的主矩同时为零。平衡力系：满足平衡条件的力系。矢量形式11100()0nixiniyinOiiFFMF改写为力的投影的形式：平面力系的平衡方程力平衡投影方程力矩平衡方程为了书写方便，可改写为：00()0xyOFFMF平面力系平衡的充要条件：力系中所有的力在直角坐标系的各坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。对于平面汇交力系，其平衡方程为：00xyFF例1：解：（1）以AB及重物作为研究对象；（2）受力分析，画出受力如图；（3）列平衡方程0xF，030cosBCAxFF0yF，030sinQPFFBCAy，0)(FAMQPBCAD3m1m2mECAEPQDBFAxFAPDQBCBAyFCE如图所示简易吊车，A、C处为固定铰支座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束反力。（4）解得：kNFkNFkNFBCAyAx33.1733.501.15030sinAEQADPABFBC一端固定的悬臂梁如图a所示。梁上作用均布荷载，荷载集度为q，在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩为m的力偶的作用。试求固定端A处的约束反力。（3）列平衡方程由ΣFx＝0，FAx＝0ΣFy＝0，FAy－ql－P＝0解得FAy＝ql＋P由ΣMA＝0，mA－ql2／2－Pl－m＝0解得mA＝ql2／2+Pl+m例2：解：（1）取梁AB为研究对象。（2）受力图及坐标系的选取如图b所示。AxFAyF平面任意力系有且只有三个独立的平衡方程。平衡方程的其他形式:（1）二矩式方程0()0()0xABFMMFF两矩心的连线与投影轴不垂直（2）三矩式方程()0()0()0ABCMMMFFF三矩心不共线例1：解：（1）以AB及重物作为研究对象；（2）受力分析，画出受力如图；（3）列平衡方程0xF，030cosBCAxFF0yF，030sinQPFFBCAy，0)(FAMQPBCAD3m1m2mECAEPQDBFAxFAPDQBCBAyFCE如图所示简易吊车，A、C处为固定铰支座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束反力。（4）解得：kNFkNFkNFBCAyAx33.1733.501.15030sinAEQADPABFBC00)(030sin0)(030cos0ABFEBQDBPMAEQADPABFMFFXAyBBCABCAx，，，FF00)(00)(030sin0)(AEQADPACFMABFEBQDBPMAEQADPABFMAxCAyBBCA，，，FFF例3求刚架的支座反力ABC3m4mP=5kNq=4kN/mABCPQFAxFAyMAFx=0,FAx－P=0Fy=0,FAy－Q=0ｍB=0，4FAx+MA－1.5Q=0解得:FAx=5kN，FAy=12kN，MA=－2kN·m4.4刚体系的平衡问题刚体系：由两个或两个以上构件通过一定约束方式连接起来的系统。刚化原理：变形体在已知力系作用下处于平衡，若将变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。C分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题一致。由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。刚体系的平衡问题例1：图示的人字形折梯放在光滑地面上。重P＝800N的人站在梯子AC边的中点H，C是铰链，已知AC＝BC＝2m；AD＝EB＝0.5m，梯子的自重不计。求地面A、B两处的约束反力和绳DE的拉力。CxFcxFcy解:（1）先取梯子整体为研究对象。受力图及坐标系如图b所示。由ΣmA=0,NB(AC+BC)cos75º－P•ACcos75º／2＝0解得NB=200N（2）为求绳子的拉力，取其所作用的杆BC为研究对象。受力图如图c所示。由ΣmC＝0,NB•BC•cos75º－T•EC•sin75º＝0；解得T=71.5NCxFcxFcy由ΣFy＝0，NA+NB－P＝0；解得NA=600N解：1、取AC段研究，受力分析如图。例2三铰拱桥如图所示，由左右两段用铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。FCyFCxFAyFAxDACP3:0xF0AxCxFF:0yF0AyCyFFG:0FmC6650AxAyFFG列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如图。列平衡方程：:0xF'0CxBxFF:0yF'0CyByFFPG35660ByBxPGFF:0FmCFCyFCxFAyFAxDACCF'yCxF'FByFBxPBCE联立求解：可得FAx=-FBx=FCx=9.2kNFAy=42.5kNFBy=47.5kNFCy=2.5kNFCx和FCx、FCy和FCy是二对作用与反作用力。','CxCxCyCyFFFF注意作用力、反作用力的正负号处理问题解：1、取CE段为研究对象，受力分析如图。Pl/8qBADLCHEl/4l/8l/4l/4LQ13l/8CEHl/8NCNE例3组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，P=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小L=5kN·m，试求固端A、铰链C和支座E的反力。41lqQ注意拼装结构分析的一般方法:0yF04ECNlqN:0FmC0284lNLllqE列平衡方程：2、取AC段为研究对象，受力分析如图。联立求解：可得NE=2.5kN（向上）NC=2.5kN（向上）Q2PLAl/4ACHl/8l/8NACN42lqQLQ13l/8CEHl/8NCNE:0yF04lqPNNCA:0FmA028348lNllqlPLCA列平衡方程：联立求解：可得LA=30kN·mNA=-12.5kN42lqQQ2PLAl/4ACHl/8l/8NACN例4求多跨梁支座A、C和中间铰B处的压力。已知P=20kN，q=5kN/m，=45°。2m1m1mqPACBABQFAxFAyMAFBy'FBx'xyBCFBxFByxyPNC2m1m1mqPACBBCFBxFByxyPNC先对BC梁列平衡方程MB(F)=0,－P1+NCcos2=0Fx=0，FBx－NCsin=0Fy=0，FBy－P+NCcos=0解得NC=P/(2cos)=20/(2cos45°)=14.14kNFBx=NCsin=Ptg/2=20tg45°/2=10kNFBy=P－NCcos=P－P/2=10kNABQFAxFAyMAFBx'FBy'y再对AB梁列平衡方程MA(F)=0,MA－q22/2－YB2=0Fx=0,FAx－FBx=0Fy=0,FAy－q2－FBy=0解得MA=2q+2FBy=25+210=30kNmFAx=FBx=10kNFAy=2q+FBy=25+10=20kN2m1m1mqPACByqEAC(a)BDxq例5图示一结构由AB、BC与CE三个构件构成。E处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为12kN的重物。A为固定铰支座，B为滑动铰支座，C、D与E为圆柱铰。AD=BD=l1=2m，CD=DE=l2=1.5m。不计杆件与滑轮的重量，求支座处的反力。分析：系统主动力只有重力GG约束反力有4个显然无法直接求解TFAxFAyFBF如果我们先将滑轮分离出来，可以求得绳的拉力。考虑滑轮的平衡，令滑轮的半径为r，有：()0EMF0TGrrFkN12TGF如图a所示建立参考坐标系这时，我们再对系统进行分析，如b图未知力只有3个，可以利用平面力系平衡方程求解：()0AMF112T20BylFlGlF将FT与G的关系代入12110.5kN2ByllFGlByFqGqAxFqAyFq(b)EBDTFq0xF0TFFAxkN12TFFAx0yF0GFFAyBykN5.1ByAyFGFByFqGqAxFqAyFq(b)EBDTFq1、整体平衡与局部平衡的概念某些刚体系统的平衡问题中，若仅考虑整体平衡，其未知约束力的数目多于平衡方程的数目，此时，必须把刚体中的构件分开，依次考虑每个构件的平衡，则可求解。2、研究对象有多种选择研究对象的选择对于能不能求解以及求解过程的繁简程度有很大关系。刚体系的平衡问题的特点与解法3、对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力