点集拓扑期末测试题

一、判断题（每题2分，共10分）1.设21,TT是集合X的两个拓扑，则21TT不一定是集合X的拓扑。（）2.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射。（）3.度量空间一定满足第二可数性公理。（）4.完全正则的紧致空间一定是正则空间。（）5.每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间，因而也是正规空间。（）二、单选题（每题3分，共30分）1.设cbaX,,，下列集族中，（）是X上的拓扑。A.cbbaXT,,,,,C.cbbaXT,,,,,B.caaXT,,,,D.cbaXT,,,,2.离散空间的任一子集为（）。A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭3.设621XXXX是拓扑空间621,,,XXX的积空间。3P是X到3X的投射，则3P是（）。A.单射B.连续的单射C.满的连续闭映射D.满的连续开映射4.有理数集Q是实数空间R的一个（）。A.不连通子集B.连通子集C.开集D.以上都不对5.设X是一个拓扑空间，BA,是X的子集，则下列关系中错误的是（）。A.)()()(BdAdBAdC.BABAB.)()()(BdAdBAdD.AA6.设2,1X,2,,XT,则),(TX是（）。A.0T空间B.1T空间C.2T空间D.3T空间7.设21,XX是连通空间，则积空间21XX是（）。A.离散空间B.商空间C.平庸空间D.连通空间8.若度量空间X的一个子集A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个（）。A.不连通子集B.开集C.连通子集D.以上都不对9.每一个度量空间都满足（）。A.选择公理B.Tukey引理C.第一可数性公理D.第二可数性公理10.若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个（）。A.不连通空间B.连通空间C.平庸空间D.以上都不对三、填空题（每题3分，共15分）1.设baX,，则X的离散拓扑为。2.若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个。3.YXf:是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个。4.Ax对于x的任何一个邻域U有。5.Hausdorff空间中的任何一个收敛序列有个极限点。四、名词解释（每题4分，共16分）1.正则空间：2.同胚映射：3.拓扑：4.可分空间：五、证明题（第一题9分，第二题10分，共19分）1.设X是一个含有不可数个点的可数补空间。证明X不满足第一可数性公理。2.设X是一个拓扑空间，XA,则)())((AdAAdd六、简答题（第一题3分，第二题7分，共10分）1.简要说明欧氏平面2R中拓扑学家的正弦曲线1,0)1sin,(xxxS的连通性，局部连通性，道路连通性。答：2.简要说明满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系（可画图说明）。答：