北京理工大学数学专业一般拓扑学期末试题(MTH17083)

课程编号：MTH17083北京理工大学2015-2016学年第二学期2013级一般拓扑学A卷一、选择题（15分）1.已知,,,,Xabcde，下列集族中，（）是X上的拓扑。①,,,,,,,TXaabace②,,,,,,,,,,,TXabcabdabce③,,,,TXaab④,,,,,,TXabcde2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理3.设1,2,3,,,1,3XTX，则,XT是（）①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对4.下列叙述中正确的个数为（）①1②2③3④4（Ⅰ）单位圆周1S是连通的（Ⅱ）0是连通的（Ⅲ）20,0是连通的（Ⅳ）2和同胚5.拓扑空间X的任何一个有限集都是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集二、判断题（15分）1.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射。2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。3.设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭集A,B，使得,ABABX。4.具有可数基的正则空间是正规空间。5.在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。三、（30分）设X为一个集合，aX，令,cXGGaG为有限集或。试证明（1）,X为一个拓扑空间；（2）,X为T2拓扑空间；（3）,X是否为A1空间？试分别对X是有限集，可数集情况进行讨论。四、（10分）设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，YX。证明：如果AYA，则Y也是X的一个紧致子集。五、（10分）设X是Hausdorff空间，:fXX为一连续映射，试证明其不动点集FixfxXfxx是一个闭集。六、（10分）如果:fXY是一个闭的双射（即一一映射），而X是Hausdorff空间，则Y也是Hausdorff空间。七、（10分）设X为拓扑空间，记FxFFx是的闭邻域，则X为T2空间当且仅当,FFxxXFx。