平面间的夹角

5.2平面间的夹角12MNR1n2n12MNR1n2n两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这两个平面的夹角平面1和2的法向量为和1n2n=∠MRN为两个平面二面角的平面角12MNR1n2n12MNR1n2n1212,,,;2nnnn当0时1212,,,.2nnnn当时例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1与平面ABCD的夹角.)1,0,0(,:22111nnnABCDABCD则和分别是的法向量平面与设平面解xzA1D1C1B1ABCDOy00),,,(1111BCnBAnzyxn则设00xzy即)0,0,1(),1,1,0(1BCBA因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以xzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角4,21nn此时得取),1,1,0(1n.22||||,cos212121nnnnnnxzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角则的法向量若取平面),1,1,0(111nABCD.22||||,cos212121nnnnnn43,21nnxzA1D1C1B1ABCDOy.).2,0,1(),3,2,1(12211值求两个平面夹角的余弦的法向量为平面的法向量为平面练习nn、.1470||||,coscos212121nnnnnn..1,,2,3,4,2111111的余弦值求二面角上的点是已知中在长方体练习CEDCEBABEAAADABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyE)2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,,,,,,:11C　E　DzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴轴为分别为原点以解则有垂直与平面设向量,),,(1DECzyxn0),2,1,1(2),2,2(zzzzzn其中xzA1D1C1B1ABCDOyEzyxzyxyxECnDEn210230331)2,3,1()0,3,3(1ECDE于是36400411220101||||cos,)2,0,0(,),2,1,1(10101101100AAnAAnCDECAAnCDEAADECnn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取xzA1D1C1B1ABCDOyE12MNR1n2n12MNR1n2n1212,,,;2nnnn当0时1212,,,.2nnnn当时=∠MRN为两个平面二面角的平面角