定积分的应用.ppt

2020/6/17河北工业职业技术学院王力加1第五节定积分的应用definiteintegral’sapplication一、定积分的几何应用二、定积分的物理应用三、定积分的经济应用2020/6/17河北工业职业技术学院王力加2第五节定积分的应用definiteintegral’sapplication一、定积分的几何应用1、问题的提出2、用定积分求平面图形的面积3、用定积分求体积4、平面曲线的弧长5、小结思考题2020/6/17河北工业职业技术学院王力加3回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(一、问题的提出曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy2020/6/17河北工业职业技术学院王力加4面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA2020/6/17河北工业职业技术学院王力加5abxyo)(xfy（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素2020/6/17河北工业职业技术学院王力加6微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量F的近似值.如果F能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量F的元素且记作dF，即dxxfdF)(；2020/6/17河北工业职业技术学院王力加73）以所求量F的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得即为所求量F的积分表达式.这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．()()baFxfxdx2020/6/17河北工业职业技术学院王力加8xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([121、直角坐标系情形dxdx二、用定积分求平面图形的面积2020/6/17河北工业职业技术学院王力加9XY0a()yfx()ygxSab2020/6/17河北工业职业技术学院王力加10XY0ab()yfx()ygx(()())baSfxgxdxS2020/6/17河北工业职业技术学院王力加11XY0ab()yfx()ygxSyxy=f(x)y=g(x)ab对x积分badxxgxfxs)]()([)(S(x)2020/6/17河北工业职业技术学院王力加13XY0ab()yfx()ygx(()())baSfxgxdxS2020/6/17河北工业职业技术学院王力加14dyyyyba)]()([积分对bayx)(yx)(yxS(x)2020/6/17河北工业职业技术学院王力加15例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx问题：积分变量只能选吗？x2020/6/17河北工业职业技术学院王力加16例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy632020/6/17河北工业职业技术学院王力加17于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同？2020/6/17河北工业职业技术学院王力加18例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy如选x为积分变量，图形需分成两块。2020/6/17河北工业职业技术学院王力加19如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.这里对函数的要求是：2020/6/17河北工业职业技术学院王力加20例4求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab2020/6/17河北工业职业技术学院王力加21旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积三、用定积分求体积2020/6/17河北工业职业技术学院王力加22一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfy2020/6/17河北工业职业技术学院王力加23aaoyx例5求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a2020/6/17河北工业职业技术学院王力加24用MATLAB计算符号定积分•格式:int(f，v，a，b)•命令是对表达式f中指定的符号变量v从a到b的定积分。•symsxa•int(pi*(a^(2/3)-x^(2/3))^3,-a,a)•ans=•32/105*a^3*pi2020/6/17河北工业职业技术学院王力加25y例6连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形,将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP2020/6/17河北工业职业技术学院王力加26以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxo2020/6/17河北工业职业技术学院王力加27类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV2020/6/17河北工业职业技术学院王力加28设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧微分dxyds21弧长.12dxysba1、直角坐标情形四、平面曲线的弧长2020/6/17河北工业职业技术学院王力加29例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab2020/6/17河北工业职业技术学院王力加30曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts2、参数方程情形弧微分2020/6/17河北工业职业技术学院王力加31五、小结思考题1、元素法的提出、思想、步骤.2、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.3、旋转体的体积2020/6/17河北工业职业技术学院王力加32思考题设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.1、2、微元法的实质是什么？2020/6/17河北工业职业技术学院王力加33思考题1解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)(])([2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导x2020/6/17河北工业职业技术学院王力加34yxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为.223xy思考题2解答微元法的实质仍是“和式”的极限2020/6/17河北工业职业技术学院王力加35求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S。练习1xye1,0,1,yxxxXY0xye1yx11s101xsexdx101xexdx21012xexx112e12e2020/6/17河北工业职业技术学院王力加36求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S。练习21yx,2yxxXY01122xyx1yxs211sxdxx2211ln2xx12ln223ln222020/6/17河北工业职业技术学院王力加37求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S。练习31220122sxxdxxxdx2yx,2yxyxXY01121xyx2yx2yx122012xdxxxdx21232011123xxx14271023362020/6/17河北工业职业技术学院王力加38作业P154请提问河北工业职业技术学院