2016年新课标Ⅲ卷理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ，适用地区：云南、广西、贵州）123456789101112131415161718192021222324一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2)(3)0,T0,().[2,3].(,2)[3,).[3,).(0,2][3,)SxxxxxSTABCD设集合则(2)(3)0:32,{|32}023xxxxSxxxSTxxx由解得或或或D42.12,()1.1.1..izizzABCiDi若则441(12)(12)1iiizziiC13313.(,),(,),()2222.30.45.60.120BABCABCABCD已知向量则,:133132222cos11230BABCABCBABCABC由题意可得A4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（）A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个由图可知0℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；而一月的平均温差小于7.5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选DD235.tan,cos2sin2()4644816...1.252525ABCD若则222222cos2sin2cos4sincos314cos4sincos14tan6449cossin1tan25116A4213536.2,4,25,()....abcAbacBabcCbcaDcab已知则422335122333244,2554abcabacA7.,4,6,().3.4.5.6abnABCD执行下面的程序框图如果输入的那是输出的开始输入a,b0,0nsababbaaab,1ssanns16输出n停止是否(1):2,4,6,6,1abasn(2):2,6,4,10,2abasn(3):2,4,6,16,3abasn(4):2,6,4,20,4abasn,4n退出循环B18.,,,cos43()3101010310....10101010ABCBBCBCAABCD在△中边上的高等于则BCAD22222222,3,5,2,25910cos210225BCADBCADACADDCADABADABACBCADADADAABACADAD设边上的高线为则C9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）.18365.54185.90.81ABCD236233233554185SB111110.,,6,8,3,()932.4..6.23ABCABCVABBCABBCAAVABCD在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球若则的最大值是ABC1B1A1C33,.,3,24439()3322VRR要使球的体积最大必须使球的半径最大由题意知球与直三棱柱的上下底面都相切时球的半径取得最大值此时球的体积为B222211.,1(0),,,,.,.,()1123....3234xyOFababABCPCPFxAlPFMyEBMOECABCD已知是坐标原点是椭圆的左焦点分别为的左右顶点.为上一点且轴过点的直线与线段交于点与轴交于点若直线经过的中点则的离心率为:(),0,(),lykxaxcxFMkacOEka设分别令与得12,,11,2()33OEOBOBDFBMFMBCkaacekacaca△∽△整理得:A1212.01{}:{}2,0,1,2,,,,01.4,01().18.16.14.12nnkaammmkmaaamABCD定义“规范数列”如下共有项其中项为项为且对于任意中的个数不少于的个数若则不同的“规范数列”共有个个个个0000111110111011010011101101001100100011110110100110C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。1013.,20,220xyxyxyzxyxy若满足约束条件则的最大值为.xy–1–212–112AO10xy20xy220xymax,1(1,),213122Az可行域如图所示当目标函数经过点时取得最大值即3214.sin3cossin3cos.yxxyxx函数的图像可由的图像至少向右平移个单位长度得到sin3cos2sin(),32sin3cos2sin()2sin[()]333sin3cos2sin3cos3yxxxyxxxxyxxyxx因为所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位得到2315.(),0,()ln()3,()(1,3)fxxfxxxyfx已知为偶函数当时则曲线在点处的切线方程是.0,0,()ln3,()1,()()ln3,()3(1)2,32(1),21xxfxxxfxfxfxxxfxxfyxyx当时即又因为是偶函数所以，则切线斜率为切线方程为即21yx2216.:33012,,,,,23,.lmxymxyABABlxCDABCD已知直线与圆交于两点过分别作的垂线与轴交于两点若则22223,23,(0,0)330()3,233333,:23,33130,,,4cos30ABABmxymRmmlyxlmABCDABCD因为且圆的半径为所以圆心到直线的距离为则由解得所以的倾斜角为由平面几何知识知在梯形中4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.{}1,0.(1):{},;nnnnanSaa已知的前项和其中证明是等比数列并求其通项公式111111(1)1,1,,01aSaaa由题意得故111111,1,(1)nnnnnnnnnSaSaaaaaa由得即1110,00,,11{},,111()11nnnnnnaaaaaa由得所以因此是首项为公比为的等比数列于是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．517.{}1,0.(1):{},;31(2),32nnnnanSaaS已知的前项和其中证明是等比数列并求其通项公式若求5551111(2)(1)1(),1113111(),(),:1132132nnnSS由知即解得18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。777211112211:9.32,40.17,()0.55()()72.646.:,()()iiiiiiiiniiiiinniiiiiiytyyyttyyrttyy参考数据参考公式相关系数772211777111(1)4,()28,()0.55,()()40.1749.322.892.890.99,0.5522.646iiiiiiiiiiiitttyyttyytytyr由折线图中数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．121ˆˆˆ()()ˆˆˆˆ,()niiiiiniiiyabtttyybaybttt回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为717219.32(2)1.331(1)7()()2.89ˆ0.103,28()ˆˆˆ1.3310.10340.92,0.920.10iiiiiyttyybttaybtyt由及得20169ˆ0.920.1091.8220161.82ty将年对应的代入回归方程得预测年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨．19.如图,四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.（1）证明MN∥平面PAB;PBACDMNT(1),,BPTATTN取中点连接22,,//312,//,2//,,//AMADTNPBCTNBCTNBCADBCTNBCAMNTMNAT由已知得是△的中位线且又四边形是平行四边形,,//ATPABMNPABMNPAB平面平面平面19.如图,四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.PBACDMNxyzE22(2),,,,5BCEAEABACAEBCAEADAEABBE取中点连接由可得从而且,AAxyz以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系(0,0,4),(0,2,0),5(5,2,0),(,1,2)2PMCN则PBACDMNxyzE55(0,2,4),(,1,2),(,1,2)22PMPNAN0(,,),0240,(0,2,1)5202nPMnxyzPMNnPNxznxyz设为平面的法向量则即可取85cos,,258525nANnANnANANPMN于是所以直线与平面所成角的正弦值为21220.:2,,,,,.(1),,://;CyxFxllCABCPQFABRPQARFQ已知抛物线的焦点为平行于轴的两条直线分别交于两点交的准线于两点若在线段上是的中点证明32.521.510.50.511.522.55432112345RQPBFOA12221,(,0),:,,210,(,),(,),(,),22211(,),(,).222,2()0FlyalybababAaBbPaabQbRABlxabxab由题意设:则记过两点的直线为则121222(1),10,,1,//1FABabARkFQkabababkbkARFQaaabaa在线段上故记得斜率为的斜率为则所以21220.:2,,,,,.(2),.CyxFxllCABCPQPQFABFAB已知抛物线的焦点为平行于轴的两条直线分别交于两点交的准线于两点若△的面积是△的面积的两倍求中点的轨迹方程32.521.510.50.511.522.55432112345DEQPFOAB11111(2)(,0),111,222211,2220(),1ABFPQFlxDxabSbaFDbaxSabbaxxx△△设与轴的交点为则由题设可得所以舍去2(,),,,2(1),1,1(1)2ABDEA