固体物理总结材料能带理论完全版

标准文案大全标准文案大全目录一、本章难易及掌握要求……………………………………1二、基本内容…………………………………………………11、三种近似………………………………………………12、周期场中的布洛赫定理………………………………21）定理的两种描述………………………………22）证明过程：……………………………………23）波矢k的取值及其物理意义…………………33、近自由电子近似……………………………………3A、非简并情况下…………………………………4B、简并情况下……………………………………5C、能带的性质……………………………………64、紧束缚近似……………………………………………65、赝势……………………………………………………96、三种方法的比较………………………………………107、布里渊区与能带………………………………………118、能态密度及费米面……………………………………11三、常见习题………………………………………………14简答题部分………………………………………………14计算题部分…………………………………………………15标准文案大全一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。了解内容：1）能带的成因及对称性；2）费米面的构造；3）赝势方法；4）旺尼尔函数概念；5）波函数的对称性。二、基本内容1、三种近似标准文案大全在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()nikRnrRer，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ikrreur，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(ruk调制的平面波表示.其中()()nururR，nR取布拉菲格子的所有格矢成立。2）证明过程：a.定义平移算符T，)()()()(332211321aTaTaTRTmmmmb．证明T与ˆH的对易性。HTHTc.代入周期边界条件，求出T在T与ˆH共同本征态下的本征值标准文案大全。即)()()()()()(332211aNrraNrraNrr321321,,akiakiakieeed.将代入T的本征方程中，注意T定义，可得布洛赫定理。)()(321321rRrmmmm)()(332211reamamamki)()(ruerkrki！3）波矢k的取值及其物理意义333222111bNlbNlbNlk……22jjjNlN，k是第一布里渊区的波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而)()()(mmRrrRT)(remRki反映了原胞之间电子波函数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、近自由电子近似1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。标准文案大全A、非简并情况下1)由假设1,2可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：'0HHH，VdxdmH22202，微扰项：VVxVH)('，满足的方程式:EH.2)利用微扰论方法有设：.)2()1(0kkkkEEEE，其中：VmkEk2220，0|'|)1(kHkEk，'0'02)2(|'|'kkkkEEkHkE（KK'）设：.)()()()1(0xxxkkk其中：ikxkeLx1)(0,0''0'0)1(|'|'kkkkkEEkHk（KK'）4）结论：能量本征值：nnkankkmVVmkE])2([2'22222220波函数：xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222])2([211)(5）波函数的意义：第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波再令xaninnkeankkmVxu2222])2([21)(，则有)(1)(xueLxkikxk标准文案大全具有布洛赫函数形式，其中用到)()(xumaxukkB、简并情况下1)nkkVEE0'0此时波矢k离an较远，k状态的能量和状态k’差别较大把3*按2002'4()nkkVEE泰勒级数展开得20'00'2000'nkkknkkkVEEEEVEEE由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了2）nkkVEE0'0时，波矢k非常接近an，k状态的能量和k’能量差别很小按将3*式220'04)(nkkVEE泰勒级数展开得00200''()1{2}24kkkknnEEEEEVV代入相应的0kE，0'kE得222(1)2(1)nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV22)(2anmTn可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。周期性()()nnnEkEkG[周期为倒格矢，由晶格平移对称性决定]反演对称性()()nnEkEk[()nEk是个偶函数]宏观对称性()()nnEkEk[为晶体的一个点群对称操作]标准文案大全C、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)它属于哪一个能带（能带标号）2)它的简约波矢k是什么？3)能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲2)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处3)禁带的宽度ngVVVVE2,2,2,23214）各能带之间是禁带,在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态4、紧束缚近似1）紧束缚近似的假设：电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。2）模型实现对于简单格子电子在格矢332211amamamRm处原子附近运动)(r满足的薛定谔方程：)()()](2[22rErrUm标准文案大全)(rU是晶体的周期性势场___所有原子的势场之和。对方程进行变换有)()()]()([)()](2[22rErRrVrUrRrVmmm)()(mRrVrU即是微扰作用。设晶体中电子的波函数mmimRrar)()(（此法的本质），代入上得：mmimmmimimRraERrRrVrUa)()()]()([考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的)(miRr重叠很有，nmnimirdRrRr)()(*用)(*niRr左乘上面方程5*，得到mnimimnimaErdRrRrVrURra)()()]()()[(*)()()]()()][([*mnimniRRJdVURR则得mnimnmaERRJa)()(，考虑到周期性的势场，应有mRkimCea，（k是任意常数矢量），则有sRkisiseRJE)(，mnsRRR利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数mmiRkikRreNrm)(1)(考虑用简约波失表示有])([1)()(mmiRrkirkikRreeNrm，由此可得对于确定k，sRkisiseRJkE)()(，而且实现了N个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：)()()(,,,12121222121211121NiiiRkiRkiRkiRkiRkiRkiRkiRkiRkikkkRrRrRreeeeeeeeeNNNNNNNN3）模型简化：标准文案大全考虑dVURRJisis})()]()()[()(*的化简：当)()(*isiR和有重叠时，积分不为0。a最完全的重叠0mnsRRR，得dVUJi)]()([)(20b其次考虑近邻格点的格矢sR，得NearestRRkisisseRJJkE)()(0。。6*能带底部电子的有效质量212*2aJm,能带顶部电子的有效质量212*2aJm.4）能级与能带的对应A计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有)coscos(cos2)(10akakakJJkEzyxi，其中在能带)0,0,0(:k处在)0,0,0(k处用级数展开有106minJJEi，在能带顶部),,(:aaakR按),,(aaak附近按泰勒级数展开得106maxJJEi带宽取决于J1，大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带越宽，同样可以看出，由于k的取值可以有N个，故一个能级在微扰下分裂成为一个能带。B对于一般情况有如下结论：一个原子能级i对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。标准文案大全当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等，由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N决定，与L值也有关。对于内层电子能级和能带有一一对应的关系，对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。5）瓦尼尔函数紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和nniRkiikRreNrkn)(1),(，对于任何能带nnnRkin