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概率第三章第三章§2古典概型2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型第三章§22.12.2成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修3有部分课件由于控制文件大小，内容不完整，请联系购买完整版课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现各出上等、中等、下等三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．如齐王知道田忌的马的出场顺序，他获胜的概率是多大？如田忌知道齐王的马的出场顺序，他能获胜吗？如双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？1.古典概型(1)定义：如果一个试验满足如下两个特征：①有限性：试验的所有可能结果只有________个，每次试验只出现________________；②等可能性：每一个试验结果出现的____________．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．有限其中的一个结果可能性相同(2)计算公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个________组成．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为：P(A)＝________.(3)求古典概型概率的步骤①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．②判断试验是否为等可能事件，并用字母表示所求事件．③利用列举法或其他知识计算基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m.④计算事件A的概率P(A)＝mn.基本事件mn2．建立概率模型(1)一般来说，在建立概率模型时，把什么看成一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是________的，那么这种概率模型就是古典概型．(2)对于同一个随机试验，可以根据需要，建立满足我们要求的________．(3)我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数________，问题的解决就变得越简单．有限的等可能概率模型越少1.下列试验是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止[答案]C[解析]A、D不是等可能的；B正整数平方的个位数字为1的数有无限个．2．抛掷一枚骰子，出现偶数字的基本事件个数为()A．1B.2C．3D.4[答案]C[解析]因为抛一枚骰子基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数字的基本事件是3个．3．从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是()A.13B.16C.18D.14[答案]A[解析]基本事件共有6个，大于23的基本事件有31,32两个，所以其概率为26＝13.4．将一粒骰子抛掷一次，得到奇数的概率是________．[答案]12[解析]P＝36＝12.5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．[答案]13[解析]从1,2,3,4这四个数中随机取两数的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中满足一个数是另一个数的两倍的组合为(1,2)，(2,4)，故P＝26＝13.课堂典例讲练一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．(1)共有多少种不同的结果(基本事件)?(2)摸出2个黑球有多少种不同结果？[思路分析]由题目可获取以下主要信息：口袋内4个球是有区别的，摸出其中任意两个球都是一种结果，然后把各种情况一一列举出来．基本事件的个数判断[规范解答](1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}、{黑1，黑3}、{黑2，黑3}、{白，黑1}、{白，黑2}、{白，黑3}．(2)从上面所有结果可看出摸出2个黑球的结果有3种．[规律总结]基本事件数的探求方法：①列举法，此法适合于较简单的试验．②树形图法：树形图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求．袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；(2)写出“取出的三球是二红一黑”这一事件包含的基本事件．[解析](1)由题意所有可能的基本事件有：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．共有8个基本事件．(2)“取出的三球是二红一黑”这一事件包括(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)共3个基本事件.古典概型的判断袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？[思路分析]由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球．②每球有一个区别于其他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它是由哪些基本事件所构成，然后再判断该模型是否满足古典概型的特点，进而确定是否为古典概型．[规范解答](1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸中白球的可能性为511，同理可知摸中黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．[规律总结]针对这个类型的题目，首先看这个概率模型是由哪些基本事件所构成的，然后再研究这些基本事件的个数是否有限，出现的可能性是否相等．另外需注意的是基本事件的选择不同，结果可能有所不同．判断下列两个试验是否为古典概型，并说明原因．(1)在数轴上任取一点，求该点坐标小于1的概率；(2)从1,2,3,4四个数字中任取两个数，求两数之一是2的概率．[解析](1)在数轴上任取一点，此点可以在数轴上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征(1)，即不满足试验结果的有限性，因此不属于古典概型．(2)此问题是古典概型，因为此试验的所有基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型.古典概型的概率求法(1)列举法甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[规范解答](1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种．选出的两名教师性别相同的概率为P＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种．选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.[规律总结](1)列举法可以使我们明确基本事件的构成，该法适合于基本事件的个数比较少的情况．(2)列举时要按规律进行，通常采用分类方法列举，这样可以避免重复或遗漏．把一粒骰子抛6次，设正面出现的点数为x.(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)．(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)．①x的取值为2的倍数(记为事件A)；②x的取值大于3(记为事件B)；③x的取值不超过2(记为事件C)；④x的取值是质数(记为事件D)．(3)判断上述事件是否为古典概型，并求出其概率．[解析](1)1,2,3,4,5,6.(2)①事件A为2,4,6；②事件B为4,5,6；③事件C为1,2；④事件D为2,3,5.(3)是古典概型，其中：P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，P(C)＝26＝13，P(D)＝36＝12.(2)图表法先后抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和为5的倍数的概率；(2)点数之和大于3且小于8的概率；(3)至少有一个4点或5点的概率．[思路分析]可以用列表法列出所有可能的结果，再用古典概型概率计算公式求解．[规范解答]把两枚骰子分别记为A，B，则点数和的可能的情况如下表所示：AB1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112(1)记事件A＝{点数之和为5的倍数}，则由上表可知，A包含的基本事件共7个，因此P(A)＝736.(2)记事件B＝{点数之和大于3且小于8}，则由上表可知，B包含的基本事件共18个，因此P(B)＝1836＝12.(3)先后抛掷两枚骰子的点数情况如下表所示：AB1点2点3点4点5点6点1点(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)●(1,5)●(1,6)2点(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)●(2,5)●(2,6)3点(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)●(3,5)●(3,6)4点(4,1)●(4,2)●(4,3)●(4,4)●(4,5)●(4,6)●5点(5,1)●(5,2)●(5,3)●(5,4)●(5,5)●(5,6)●6点(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)●(6,5)●(6,6)共有36种不同的结果，其中至少有一个4点或5点的事件包括20个基本事件，见表中标●的部分，所以至少有一个4点或5点的概率为P＝2036＝59.[规律总结]在求概率时，通常把全体基本事件用列表或直角坐标系中的点表示，以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式求相应的概率．甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次．(1)若两次数字之差的绝对值为0,1或2，则甲胜，否则乙胜；(2)若两次数字之和是2的倍数，则甲胜，而若两次数字之和是3的倍数或5的倍数，则乙胜．分别求出两个游戏中甲、乙获胜的概率．[解析](1)用列表的方法可以看出所有可能的结果为：13456810234572112346431012454210136532102从表可以看出两个数字之差的绝对值为0的有4种可能结果，为1的有7种可能结果，为2的有6种可能结果，所以甲胜的概率为1730，而乙胜的概率为1330.(2)通过列表可知134568124567923567810457891012568910111367910111214出现的两个数字之和是2的倍数的有15种，出现的两个数字之和是3的倍数的有10种，5的倍数的有7种，所以甲胜的概率