棱锥课件

第九章直线、平面、简单几何体第讲考点搜索●棱锥及其底面、侧面、侧棱、高等概念，正棱锥的概念●棱锥的基本性质及平行于棱锥底面的截面性质●多面体的有关概念高考猜想1.通过判断命题真假考查棱锥有关概念和性质.2.有关棱锥的棱长、高、面积等几何量的计算.3.以棱锥为背景，分析线面位置关系，以及空间角和距离的计算.1.如果一个多面体的一个面是________,其余各面是有一个公共顶点的________,那么这个多面体叫做棱锥.在棱锥中有_____________________叫做棱锥的侧面，余下的那个多边形叫做棱锥的_____,两个相邻侧面的______叫做棱锥的侧棱，各侧面的________叫做棱锥的顶点，由顶点到底面所在平面的______叫做棱锥的高.底面是________，并且顶点在底面的射影是_________的棱锥，叫做正棱锥.多边形三角形公共顶点的各三角形底面公共边公共顶点垂线段正多边形底面中心2.如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面______，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的______.3.正棱锥各侧棱_____，各侧面都是全等的____________，各等腰三角形底边上的高____(它叫做正棱锥的斜高).4.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个___________,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个___________.相似平方比相等等腰三角形相等直角三角形直角三角形5.设棱锥的底面积为S，高为h，则其体积V=______.6.由若干个____________围成的空间图形叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的___，两个面的______叫做多面体的棱，棱和棱的_______叫做多面体的顶点，连结______________的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.平面多边形13Sh面公共边公共点不在同一面上8.每个面都是有相同边数的_________,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做__________.表面经过连续变形可变为______的多面体，叫做简单多面体.7.把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的_______，这样的多面体叫做凸多面体。同一侧正多边形正多面体球面1.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为()A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2解：由于G是PB的中点,故P-GAC的体积等于B-GAC的体积.如图，在底面正六边形ABCDEF中，BH=ABtan30°=AB,而BD=AB,故DH=2BH,于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC.33C32.若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小为()A.arctanB.arctan2C.arctan3D.arctan解：如图，取BC的中点D，连结SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC.所以∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α.3834A在平面SAD中，作SO⊥AD,与AD交于O，则SO为棱锥的高h.又AO=2DO，所以.由VS-ABC=·AB·BC·sin60°·h=1，得h=,所以tanα=所以α=arctan133412233OD383342833SODO3.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为.解：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比为S侧1∶S侧2∶S侧3=1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.1∶3∶53.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件时，就有MN⊥AC.解：本题答案不唯一，当点M在线段FH上时均有MN⊥AC.点M与F重合1.正三棱锥P-ABC的底面边长为a，D为侧棱PA上一点，且AD=2PD.若PA⊥平面BCD，求这个三棱锥的高.解：设PD=x，则AD=2x，PA=PB=PC=3x.因为PA⊥平面BCD，所以PA⊥BD.所以AB2-AD2=PB2-PD2，题型1棱锥中有关量的计算即a2-4x2=9x2-x2，得作PO⊥底面ABC，垂足为O，则O为△ABC的中心，连结OC，则在Rt△POC中，故三棱锥P-ABC的高为.2212ax233323OCaa222215936aPOPCOCxa156a点评：与棱锥有关量的计算问题，一般先作出棱锥的高，根据需要可设所求量的大小为参数，然后利用方程思想，找到参数的方程，再求解方程以得出所求.这是方程思想在解题中的具体应用.已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1-B1EDF的体积.解法1：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.因为平面B1D1D⊥平面B1EDF，所以O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.因为△B1O1H∽△B1DD1，所以11111131113321161233266CBEDFBEDFVSOHEFBDOHaaaa1111166BODOOHaBD解法2：连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则，所以解法3：12112hhBDa1111113121136C-BEDFB-CEFD-CEFΔCEFVVVS(hh)a111111111111316C-BEDFABE-DCFDE-ABCDE-CDDVV-V-Va2.设正三棱锥P-ABC的底边长为a，侧棱长为2a，E、F分别为PB、PC上的动点，求△AEF的周长的最小值.解：将三棱锥侧面沿PA展开到同一平面上，如图.则AE+EF+FA′≥AA′.取BC的中点D，连结PD，题型2棱锥表面展开图的应用则PD⊥BC.设∠CPD=θ，则sinθ=.设PD交AA′于H，则H为AA′的中点，且PH⊥AA′.所以AH=PAsin3θ=，所以AA′=.故△AEF的周长的最小值为.点评：求与多面体有关的表面距离的最小值问题，常常将其展开成平面图，然后在其平面展开图上求其最值.14DCPC118a114a114a如图，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1，∠ASB=30°，蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行(必须经过三棱锥的三个侧面)再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.解：沿SA剪开得展开图如右.在△SAE中，，则，所以.利用尺规作图可以找到E和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.sinsinSASEAESSAD001sin75sin45SE31SE3.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.求点C到平面AEC1F的距离.解：延长C1E、CB相交于G，连结AG，则平面AEC1F∩平面ABCD=AG.过点C作CM⊥AG，垂足题型3多面体背景中的线面关系问题为M，连结C1M.因为C1C⊥平面ABCD，所以C1C⊥AG，于是AG⊥平面C1CM，所以平面AEC1F⊥平面C1CM.过点C作CH⊥C1M，则CH⊥平面AEC1F.所以CH的长即为点C到平面AEC1F的距离.由得又BC=2，所以BG=1，从而113BEBGCCCG13BGCG2217AGABBG由△ABG∽△CMG，得所以故点C到平面AEC1F的距离是.点评：不规则多面体一般是先分割(或是补形)成棱锥和棱柱的组合体，然后运用棱锥或棱柱的性质解决所求问题.122112×3CM?CC43317CH===CM1112()[phone]CGCMABAG43311右图是一个直三棱柱(以△A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3.(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；(2)求二面角B—AC—A1的大小；(3)求此几何体的体积.解：(1)证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连结C1D.则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D.又C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1(2)如图，过B作截面BA2C2∥平面A1B1C1，分别交AA1、CC1于A2、C2.作BH⊥A2C2于H，连结CH.111132OD(AABB)CC因为CC1⊥平面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C1CA.又因为AB=，BC=，AC=，所以AB2=BC2+AC2，所以BC⊥AC.根据三垂线定理知，CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角B-AC-A1的平面角.因为BH=，所以，故∠BCH=30°.所以所求二面角B-AC-A1的大小为30°.523221sin2BHBCHBC(3)因为BH=，所以故所求几何体的体积为22221311211223222B-AACCAACCVSBH()22221112232B-AACCABCABCVVV-.1.对于三棱锥，它的每一个面都可作为棱锥的底面，每一个顶点都可作棱锥的顶点，而体积总保持不变.因此，计算三棱锥的体积时，要注意顶点和底面的选择.根据三棱锥的体积不变性，可得到处理问题的一种重要方法——等体积法.2.棱锥的侧棱均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心；棱锥的各侧面与底面所成的二面角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心；如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.3.正棱锥的侧面和底面所成的二面角相等，侧棱与底面所成的角都相等，相邻的两侧面所成的二面角也都相等.记正棱锥的侧面积为S侧，底面积为S底，侧面与底面所成的角记为α，则cosα=.侧底SS4.若正四面体的棱长为a，则正四面体的高为，外接球的半径为，内切球的半径为，相邻两个面所成的角的余弦值为，任一条侧棱和底面所成的角的余弦值为.63a64a612a13335.求经过多面体某些面的折线长的最小值，一般将这些面展开到同一平面，再转化为求两点间的距离，这是一类最值问题的几何解法.