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第1章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1AFBECO.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC,则在ΔBAC中，KL21AC.KL与AC方向相同；在ΔDAC中，NM21AC.NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1)AB、CD;(2)AE、CG;(3)AC、EG;(4)AD、GF;CH.BE、(5)[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。§1.3数量乘矢量图1—3ba,应满足什么条件？1.要使矢量下列各式成立，;baba−=+;baba+=+（2）（1）;bab;baba−+（4）a−=（3）+=（5）.bba−−a=[解]：baba−=+ba的直垂直时有,所在线（1）；;baba+=+ba,（2）同向时有;baba≥,b且（3）ba,有a−=+反向时ba,反向时有（4）;baba+=−（5）ba≥时有.baba−=−ba,同向，且AL,BM,CN2.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量可以构成一个三角形.[证明]：)(21ACABAL+=∵)(21BCBABM+=)(21CBCACN+=0)(1++++=++2=+∴CBA从而三中线矢量CBCBAACABCNBMALCNBMAL,,构成一个三角形。N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明3.设L、M、OBOA++OC=OL+OM+ON.LAOLOA+=∵[证明]MBOMOB+=NCONOC+=)(LAOCOBOA=++NCMBONOMOL+++++∴=)(ONOMOL−++CNBMAL++由上题结论知：0=++CNBMALONOMOLOCOBOA+++=+∴4.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点但OBODOCOAOBOCOAODBCADOBOCBCOAODAD+=+−=−=−=−=∵∴图1-4)(OCOA+∥,AC)(ODOB+∥,BD不平行于BD而AC，由于∴0=+=+OBODOCOA，从而OA=OC，OB=OD。M行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明5.如图1-5，设是平OA+OB+OC+OD＝4OM.OM[证明]：因为＝21(OA+OC),OM图1-5＝21(OB+OD),所以2OM＝21(OA++OC+ODOB)所以OA+OB+OC+OD＝4OM.6.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:＝0.1OA+2OA+…+nOA[证明]：因为3OA＝λ2OA,1OA＋2OA＋4OA＝λ3OA,……1−n+1OAOλnA＝OA,nOA＋2AλO＝1OA,21OA+OA…+所以2(+n)OA1OA+2OA+…+nOA),＝λ(0.1OA2OA+nOA所以(λ)(－2++…)＝显然λ≠2,即λ－2≠0.所以1OA+2OA+…+nA＝0O.§1.矢量的线性关系与矢量的分解41.设一直线上三点A,B,PAP＝λPB(λ≠－1),O是空间任意一点，求证：满足＝λ+OBOAOPλ+1[证明]：如图1因-7，为OPOA,AP＝－OBOPPB＝,－－OA＝λ(OBOP－OP所以),λ＝OA+λOB,)OP(1+图1-7＝λλ+OBOA.OP从而+1AC1＝2eABe2.在△ABC中，设＝，，AT是角A的平它BCAT分解为1e,2e分线（与交于T点），试将图1-8的线性组合.[解]：因为||||e||TC|BT＝|11e,且BT与TC方向相同，所以＝|||1eBTTC.|2e由上题结论有AT＝||12e||||11ee＝||221eee++||||||||2112eeee+21ee+.3.用矢量法证明：P△ABC充要条件是图1-9是重心的PC＝0.PA+PB+[证明]：“”P△的重心，则⇒若为ABCCP＝2PAPE＝P+B,从而PA+PB－CP=0,即PA+PB＋PC=0.“”若⇐PA+PB＋PC=0,＝－PC＝CP,PA+PB则取E，G分别为ABF，，BC，CA之中点，则有PE＝1(+PA2PB).从而CP＝2PE.PG,BP＝2AP＝2PF.故P同理可证为△ABC的重心.4.证明三个矢量a＝－1e3+2e+23e,b，c＝41e－62e+23e+122e＝－31e＋113e共面，其中a能否用b,c性示如能表，写出线表示关系式.线表？示性1e2e,3e不共面，即它们线性无关.[证明]：由于矢量,考表式虑达λa+μb+vc＝0，即λ(－+32e－62e+122e1e+23e)+μ(41e+23e)+v(－31e＋113e)＝,或(－λ+4μ－3v)00.1e+(3λ－6μ＋12v)2e+(2λ+2μ＋11v)3e＝1e,2e,3e由于线性无关，故有解得λ＝－10，μ＝－1，v＝2.≠0，所以⎪⎩⎧=+==−+−.01122,0,034vvvμμλ⎪⎨1263μλ＋－+λa由于λ＝－10能用b,c线性表示ba＋51c.＝－110是三个两两不共线的矢量，且OCOBOA,,OC＝λOA+μOB5.如图1-10，，试证A,B,C三点共线μ＝[证明]：“B共线，从而有的充要条件是λ+1.图1-10⇒”因为A，，CCB,AC//CB,AC且有≠－1,使m＝mOC＝m(OB－OC－OA),OBOCOA＋m(1+m),＝OC＝m+11OA＋mmOB.+1但已知OC＝λOA＋μO,OBOAB.由OC对分解的唯一性可得λ＝m+11,μ＝mm+从而μ＝1mmλ+m+11++11设＝＝.“λ+μ1.则有OC＋μOB＋(1－λ)OB＝λOA＝λOA⇐”－OB=OB+λ(OA),OC－OB－OB＝λ(OA),所以BC＝λBA,BC//BA.从而故A，B，C三点共线.§1.5标架与坐标1.在空间直角坐标系{O;kji,,}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(的坐标.[解]：称点坐标为(a,－b,c)，cx坐标为(a,－b,－c)，,,b(类似考虑P1)即可.2.已知矢量1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,－c)，M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a,b,c)，M(a,b,c)关于xOz平面的对M(a,b,)关于轴平面的对称点M(ab,c)关于y轴的对称点的坐标为(－a,b,－c)，M(a,c)关于z轴的对称点的坐标为－a,－b,c).(2,－3，－a,b,c的分量如下：a＝{b＝{0,2,－}c{1,2,－1}；(1)0,－1,2}，4，＝(2)a＝{1,2,3}，b＝{2,－1,0}，c＝{0,5,6}.试判别它？c表成a，b的线性组合？表示们是否共面能否将若能，写出表示式.[解]:(1)因为121420210−−cab,−＝0,所以,三矢量共面,又因为a,b的对应坐标成比例，即a//b，但ca，c成a,b的线性组合.故不能将表321a,b,c三矢量共面.012−＝0,所以(2)因为650a,b的对应坐标不成比例，即ab又因为，故可以将c表成a,b的线性组合.设＝+,亦即{0,5,6}＝λ{1,2,3}+μ{2,－1,0}＝λaμbc从而⎪⎪⎨==−.63,02λμλ⎧=+μ,02λ⎩解得λ＝2，μ＝－1,－b所以2ac.3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距把交点坐标表示出来.[证明]：设四面体A1A24,Ai对面重心为Gi,欲证AiGi交于一点(i＝2,3,4).在AiGi上取一点P离的三倍.用四面体的顶点坐标A3A1,＝313++iiOGOAiiPA＝3iiGP,从而iOPi，使，设Ai(xi,yi,zi)(i＝1,2,3,4)，则⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++3,3,3432432432zzzyyyxxxG1,⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++3,3,3431431431zzzyyyxxxG2,G3⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++3,3,3421421421zzzyyyxxx,G4⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++3,3,33213x32121zzzyyyxx,所以P1(31334321+⋅+xxxx++,31334321⋅+yyyy+++,31334321⋅+zzzz+++)≡P1(4321xxx+++4x,44321yyyy+++,44321zzzz+++).≡P4GP，三倍.矢量在轴上的射影同理得P2≡P3≡P1，所以Aii交于一点且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的§1.6的夹角为，且15010=ABABeABe与射影ABe1．已知矢量与单位矢量，求射影矢量，又如果ee=′，求射影矢量ABe′与射影ABe′.ABe=,35150.10),(cos−==∠COSABeAB[解]射影ABe=e35−射影矢量°°=∠−=′∠∴−=′,,ABee∵30),(180)(ABee,35.10),(s=′∠COSAe30co=BAB∴射影ABe′=e′ABe′=35射影矢量2试证明：射影l(λ+1aλ2a+…+λnna2a+2λ射影l)＝λ1射影l1ana.+…+λn射影l[证明数学归纳法来证λ]：用.当n＝2时，有1+1aλ22a)＝射影l((22aλ)射影l(1)+1aλ射影l＝λ1射影l1a+λ2射影l2a.假设当n＝k时等式成立，即有射影kkaaλλ++11a+lkal(1λ1l)＝射影…+射影λk.欲证当k+1时亦然.事实上影n＝11射(l11kk+++kka＝射影l[(++aaλλλ)kkaaλλ++11)+1+kaλ1+k]kka(aλ++11射影l1+kaλ)+1+kλ)＝射影l(1a+影lka+λk+1射影l1+ka…+λk射＝λ1射影l故等式对自数.§1.7两矢量的数性积1．证明面上如果然n成立＝b⋅im＝b.在平1m2m，且aim⋅(i=1,2)，则有a[证明]:因为m12mc＝λ1m＋μ2m,,所以，对该平面上任意矢量(a－b)c－b＝)(λ1m＋μ2m)(a⋅－b＝λm1(a)+μ2m(ab)－＝λ(a1m－b－b1m)+μ(a2m2m)＝0,故(a－b)⊥c.－b＝0.由的任意性知ca＝b.a从而的夹角都是，且°603,2,1===cbaba,与ba,互相垂直，矢量c2．已知矢量计算：22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;))(1(cbacbbabababa−+−−−++[解]：1132;52021.2))(1(2222=+×+=++=+bbaaba40cos32co32444)2)(4(226460s1276.);321)()(222222)222;260cos32660cos.398..92.3)3)(23(3((=+×+××=++−−=−+ccbcabbaba3.用矢量法证明以下各题：(1)角余定理a2＝b2c2－2bccosA;三角形边的垂直平分线共点且这点到各等距.证明：1△ABC，×−−−+=−+°°bcabaacba==−+a+−−=−−cbabbcbba−=××+×−−=°°三形的弦＋(2)各顶点图1-11