解析几何大题分类问题

定点问题1．（12分）已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线:1lx相切．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的1122(,),(,)AxyBxy两点,当1216yy时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由．1．解:(1)因为动圆M,过点F(1,0)且与直线:1lx相切,所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．所以,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,且12p,2p,所以所求的轨迹方程为24yx5分(2)假设存在A,B在24yx上,所以,直线AB的方程:211121()yyyyxxxx,即221112221()444yyyyyxyy7分即AB的方程为:211124()4yyyxyy,即22121121()4yyyyyyxy即:12()(164)0yyyx，10分令0y,得4x，所以,无论12,yy为何值,直线AB过定点(4,0)12分2．（2012年高考（福建理））如图,椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点为1F,右焦点为2F,离心率12e.过1F的直线交椭圆于,AB两点,且2ABF的周长为8.(Ⅰ)求椭圆E的方程.(Ⅱ)设动直线:lykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线4x相较于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.2.【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想.【解析】因为22||||||8ABAFBF,即1122||||||||8AFFBAFBF而1212||||||||2AFAFFBBFa,所以482aa,而222111322cecabaca所求椭圆方程为22143xy(2)由22222(43)84120143ykxmkxkmxmxy222222644(43)(412)0430kmkmkm002443,43kmkxykmm,43(,)kPmm,由(4,4)4ykxmQkmx设存在1(,0)Mx,则由0MPMQ可得211141612430kxkkxxmmm2111(44)430kxxxm,由于对任意,mk恒成立,所以联立解得11x.故存在定点(1,0)M,符合题意.定值问题3．（2012年高考（上海理））在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线12:221yxC.(1)过1C的左顶点引1C的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点,若l与圆122yx相切,求证:OP⊥OQ;(3)设椭圆14:222yxC.若M、N分别是1C、2C上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.3.[解](1)双曲线1:21212yCx,左顶点)0,(22A,渐近线方程:xy2.过点A与渐近线xy2平行的直线方程为)(222xy,即12xy.解方程组122xyxy,得2142yx所以所求三角形的面积1为8221||||yOAS(2)设直线PQ的方程是bxy.因直线与已知圆相切,故12||b,即22b由1222yxbxy,得01222bbxx.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则1222121bxxbxx.又))((2121bxbxyy,所以221212121)(2bxxbxxyyxxOQOP022)1(2222bbbbb,故OP⊥OQ(3)当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|=22,则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为kxy(显然22||k),则直线OM的方程为xyk1.由1422yxkxy,得22242412kkkyx,所以22412||kkON.同理121222||kkOM设O到直线MN的距离为d,因为22222||||)|||(|ONOMdONOM,所以3133||1||1122222kkONOMd,即d=33.综上,O到直线MN的距离是定值4．（2012年高考（辽宁理））如图,椭圆0C:22221(0xyabab,a,b为常数),动圆22211:Cxyt,1bta.点12,AA分别为0C的左,右顶点,1C与0C相交于A,B,C,D四点.(Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:Cxyt与0C相交于////,,,ABCD四点,其中2bta,12tt.若矩形ABCD与矩形////ABCD的面积相等,证明:2212tt为定值.4.【答案及解析】【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设1111,,,-AxyBxy，又知12-,0,,0AaAa，则直线1AA的方程为11=++yyxaxa①直线2AB的方程为11-=--yyxaxa②由①②得22221221-=--yyxaxa③由点11,Axy在椭圆0C上，故可得221122+=1xyab，从而有222112=1-xyba，代入③得2222-=1-,0xyxayab……6分（2）证明：设22',Axy，由矩形ABCD与矩形''''ABCD的面积相等，得2222112211224=4,=xyxyxyxy，因为点,'AA均在椭圆上，所以2222221212221-=1-xxbxbxaa由12tt，知12xx，所以22212+=xxa。从而22212+=yyb，因而222212+=+ttab为定值…12分最值问题5．（2012年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221xyab(0ab)的离心率23e且椭圆C上的点到点0,2Q的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)在椭圆C上,是否存在点,Mmn,使得直线l:1mxny与圆O:221xy相交于不同的两点A、B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的OAB的面积;若不存在,请说明理由.5.解析:(Ⅰ)因为23e,所以2223ca,于是223ab.设椭圆C上任一点,Pxy,则2222222222122443yPQxyayyybb(byb).当01b时,2PQ在yb时取到最大值,且最大值为244bb,由2449bb解得1b,与假设01b不符合,舍去.当1b时,2PQ在1y时取到最大值,且最大值为236b,由2369b解得21b.于是23a,椭圆C的方程是2213xy.(Ⅱ)圆心到直线l的距离为221dmn,弦长221ABd,所以OAB的面积为2112SABddd,于是2222211124Sddd.而,Mmn是椭圆上的点,所以2213mn,即2233mn,于是22221132dmnn,而11n,所以201n,21323n,所以2113d,于是当212d时,2S取到最大值14,此时S取到最大值12,此时212n,232m.综上所述,椭圆上存在四个点62,22、62,22、62,22、62,22,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且OAB的面积最大,且最大值为12.存在性问题6.已知圆M：222()()xmynr及定点(1,0)N，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0．（1）若1,0,4mnr，求点G的轨迹C的方程；（2）若动圆M和（1）中所求轨迹C相交于不同两点,AB，是否存在一组正实数,,mnr，使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．解：（1）2,NPNQ点Q为PN的中点，又0GQNP，GQPN或G点与Q点重合．∴.||||GNPG…………2分又||||||||||4.GMGNGMGPPM∴点G的轨迹是以,MN为焦点的椭圆，且2,1ac，∴223,bacG的轨迹方程是221.43xy…………6分（2）解：不存在这样一组正实数，下面证明：……7分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN的斜率存在时，设之为k，故直线MN的方程为：@s@[e-mail]高#考#资#源#网(1)ykx，设1122(,),(,)AxyBxy，AB中点00(,)Dxy，则22112222143143xyxy，两式相减得：12121212()()()()043xxxxyyyy．…………9分注意到12121yyxxk，且12012022xxxyyy，则00314xyk，②又点D在直线MN上，00(1)ykx，代入②式得：04x．因为弦AB的中点D在⑴所给椭圆C内，故022x，这与04x矛盾，所以所求这组正实数不存在．…………13分当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为1x，则此时1212,2yyxx，代入①式得120xx，这与,AB是不同两点矛盾．[来源:]综上，所求的这组正实数不存在．………14分