历年高考数学圆锥曲线试题汇总

-1-高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)（A）3（B）2（C）5（D）6解：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa.2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=(A).2(B).2(C).3(D).3解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.故选A3.（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．5D．10答案：C【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．-2-4.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）A．32B．22C．13D．125．D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为2APPB，则12,2,2OAOFace6.（2009北京理）点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于,AB两点，且|||PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设,,,1AmnPxx，则2,22Bmxnx，∵2,AByx在上，∴2221(2)nmnxmx（第8题解答图）消去n,整理得关于x的方程22(41)210xmxm（1）∵222(41)4(21)8850mmmm恒成立，-3-∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.7.(2009山东卷理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45B.5C.25D.5【解析】:双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有唯一解,所以△=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa,故选D.答案:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.24yxB.28yxC.24yxD.28yx【解析】:抛物线2(0)yaxa的焦点F坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx,它与y轴的交点为A(0,)2a,所以△OAF的面积为1||||4242aa,解得8a.所以抛物线方程为28yx,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.9.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r=-4-（A）3（B）2（C）3（D）6答案：A解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=310.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=(A)31(B)32(C)32(D)322答案：D解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FAFB及第二定义知)2(22BAxx联立方程用根与系数关系可求k=223。11.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410xy[解析]由62e得222222331,1,222cbbaaa，选B12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是A.B.C.D.【解析】依据双曲线22221xyab的离心率cea可判断得.62cea.选B。【答案】B13.（2009安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是A．B.C.D.【解析】可得l斜率为33:2(1)22lyx即3210xy，选A。【答案】A-5-14.（2009江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．32B．2C．52D．3答案：B【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选B.15.（2009江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为A．22B．33C．12D．13答案：B【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B16.（2009天津卷文）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）Axy2Bxy2Cxy22Dxy21【答案】C【解析】由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为xxaby22【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。17.(2009湖北卷理)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是-6-A.11,22KB.11,,22KC.22,22KD.22,,22K【答案】A【解析】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2ykx可得223+(4k+16k)40xx由0可解得A18.（2009四川卷文）已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF·2PF＝A.－12B.－2C.0D.4【答案】C【解析】由渐近线方程为xy知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222yx，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P或)1,3(P.不妨去)1,3(P，则)1,32(1PF，)1,32(2PF.∴1PF·2PF＝01)32)(32()1,32)(1,32(19.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则kA.13B.23C.23D.223解：设抛物线2:8Cyx的准线为:2lx直线20ykxk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N,由||2||FAFB,则||2||AMBN,点B为AP的中点.连结OB,则1||||2OBAF,||||OBBF点B的横坐标为1,故点B的坐标为22022(1,22)1(2)3k,故选D-7-20.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．65B.75C.58D.95解：设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060,||||2BADADAB,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AMBNADAFFBe11||(||||)22ABAFFB.又15643||||25AFFBFBFBee故选A21.（2009湖南卷文）抛物线28yx的焦点坐标是【B】A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）-8-解:由28yx,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p，故选B.22.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（A）22(1)(1)2xy(B)22(1)(1)2xy(C)22(1)(1)2xy(D)22(1)(1)2xy【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.【答案】B23.（2009宁夏海南卷理）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为（A）23（B）2（C）3（D）1解析：双曲线24x-212y=1的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为340232d,选A24.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.解析：抛物线的方程为24yx，2111122122222212121212124,,,,4441yxAxyBxyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，，直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x25.（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为60的直线被圆学2240xyy所截得的弦长为科网（A）3（B）2（C）6（D）23答案:D.解析:22,(2)4xxy直线方程y=3圆的标准方程,圆心(0,2)到直线的距离223021(3)(1)d，由垂径定理知所求弦长为*2222123d故选D.26.（2009陕西卷文）“0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆”的-9-（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件答案:C.解析:将方程221mxny转化为22111xymn,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足110,0,mn所以11nm，故选C.27.（2009四川卷文）已知双曲线)0