高数上期末考试试卷及答案

兰州理工大学年季学期高等数学1试题共3张第1张院(系)专业班级学号姓名装订线一.单项选择题(每小题3分,共15分)1.数列}{nx有界是数列}{nx收敛的【】（A）必要但不充分条件（B）充分但不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2.设,2sin)(,2)(2xxgxxf==则当0→x时【】（A）)(xf是比)(xg高阶的无穷小（B）)(xf是比)(xg低阶的无穷小（C）)(xf与)(xg是同阶但非等价的无穷小（D）)(xf与)(xg是等价无穷小3.下列广义积分发散的是【】（A）dxxx∫∞−+021arctan（B）dxx∫∞+∞−+211（C）1p时dxxp∫∞+11（D）dxx∫−11214.设)(xF是)(xf的一个原函数,则下列结论正确的是【】（A）)(])([xFdxxfdxd=∫（B）CxfxdF+=∫)()(（C）CxFdxxf+=∫)()('（D）)(])([xfdxxfdxd=∫5.计算曲线2332xy=上相应于x从0到3的一段弧的长度是【】（A）2（B）314（C）1（D）316二.填空题(每小题3分,共15分)1.=+∞→nnna2sin2lim.2.设)12sin(+=xy,则=dy.3.曲线xey=在点)1,0(处的切线方程为.4.求∫=dxx2sin2.5.求dxx∫−−121.三.计算题Ⅰ(每小题6分,共12分)1.求极限xdttxx∫→020coslim.2.讨论函数11,12,)(2≤⎩⎨⎧−=xxxxxf在1=x处的连续性和可导性.题号一二三四五六七八九十总分得分得分得分得分兰州理工大学年季学期高等数学1试题共3张第2张院(系)专业班级学号姓名装订线四.计算题Ⅱ(每小题6分，共30分)1.求由方程0922=+−xyy所确定的隐函数)(xyy=的导数dxdy.2.求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧−==tytx122所确定函数的二阶导数22dxyd.3.求不定积分dxx∫−22.4.求定积分dxexx−∫10.5.求函数59323+−−=xxxy的极值.得分兰州理工大学年季学期高等数学1试题共3张第3张院(系)专业班级学号姓名装订线五.应用题(每小题7分,共14分)1.设曲线3xy=,直线2=x及0=y所围成的平面图形为D,求(1)平面图形D的面积;(2)平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.2.某工厂欲建造一个容积为V的带盖圆柱形桶,问底半径r和桶高h如何确定,才能使所用材料最省?六.证明题(每小题7分,共14分)1.证明:当0x时,21cos2xx−.2.设)(xf在]1,0[上可导,且0()1,()1fxfx′≠,证明方程xxf=)(在)1,0(内有唯一实根.得分得分兰州理工大学年季学期《高等数学1》参考答案与评分标准答案共1张第1张院(系)专业班级学号姓名装订线一.单项选择题1.A2.A3.D4.D5.B二.填空题1.a;2.dxx)12cos(2+;3.01=+−yx;4.Cxx+−)sin(21;5.2ln−.三.计算题I1.xdttxx∫→020coslim=1coslim20xx→……………(4分)1=…………………………….(2分)2.211lim)1(20'=−−=→−xxfx………（2分）,2122lim)1(0'=−−=→+xxfx……………..（2分）所以函数在1=x处可导,从而连续…………………………………………………………………（2分）四.计算题II1.方程两端关于x求导得0222=−−dxdyxydxdyy…………………………………………（4分）所以xyydxdy−=………………………………………………………………………………（2分）2.tdtdxdtdydxdy1/−==………………………………………………………………………（4分）3221)1()1(tdxdttdtdtdxddxyd=−=−=……………………………………………….（2分）3.令txsin2=,则tdxcos2=,原式tdt∫=2cos2…………………….（3分）dtt)2cos1(∫+=Cttt++=cossin………………………………………………（2分）Cxxx+−+=222arcsin2………………………………………………………………（1分）4.dxexx−∫10=dxexeexdxxx∫∫−−−+−=−101010|…………………………………………（4分）exdeex21101−=−−−=∫−−………………………………………………..（2分）5.0)3)(1(39632'=−+=−−=xxxxy,得驻点3,121=−=xx……（2分）又66''−=xy,,012|1''−=−=xy,012|3''==xy……………………….（2分）所以3=x是极小值点,极小值为-22,1−=x是极大值点,极大值为10.………………（2分）五.应用题1.解：（1）面积4|41204203===∫xdxxS………………………………………………（3分）（2）体积dyyxdyyxV∫∫−=80228021)()(ππdyydy2803802)(2∫∫−=ππ…………（3分）564)4(8032ππ=−=∫dyy………………………（1分）2.解：由Vhr=2π解得2rVhπ=…………………………………………………………………（2分）带盖圆柱形桶的表面积为2222222rVrrrhrSπππππ+=+=………………（2分）0242'=−=rVrSπ得唯一驻点32πVr=,故（也是唯一最小值点）,故32πVr=,322πVh=时所用材料最省.……………………………………………………（3分）六.证明题1.证明：令12cos)(2−+=xxxf,则xxxfsin)('−=…………………………（2分）当0x时0)('xf,所以)(xf单调递增,即)0()(fxf.………………………………（2分）又0)0(=f,从而012cos)(2−+=xxxf,即21cos2xx−.…………（3分）2.证明：令xxfxF−=)()(,则)(xF在]1,0[上连续,且0]1)1()[0()1()0(−=ffFF由零点定理,存在)1,0(1∈x,使0)()(111=−=xxfxF,即xxf=)(在)1,0(内至少有一实根;………………………………………………………………………………………………（4分）假设方程()fxx=还有一个实根)1,0(2∈x,不妨设21xx,则)(xF在],[21xx上满足Rolle定理,故存在)1,0(),(21⊂∈xxξ,使01)()(''=−=ξξfF,即1)('=ξf,这与1)('≠xf矛盾！故xxf=)(在)1,0(内有唯一实根.…………（3分）